数式による解説
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/18 07:42 UTC 版)
円形開口による回折。エアリーパターンは（ R > a 2 / λ {\displaystyle R>a^{2}/\lambda } ）（つまり遠視野）のときに観察される。 円形開口にレンズを用いた回折。遠視野の像はR=f (f=焦点距離)の距離の焦点観察平面上にのみ観察される。視野角 θ {\displaystyle \theta } はレンズがない場合と同じである。 円形開口から生じるフラウンホーファー回折の強度は次の式で与えられる。 I ( θ ) = I 0 ( 2 J 1 ( k a sin θ ) k a sin θ ) 2 = I 0 ( 2 J 1 ( x ) x ) 2 {\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right)^{2}} ここで I 0 {\displaystyle I_{0}} は回折パターン中央における光の強さ、 J 1 {\displaystyle J_{1}} は第1種ベッセル関数、 k = 2 π / λ {\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }} は波数、 a {\displaystyle a} は円形開口半径、 θ {\displaystyle \theta } は視野角（円形開口の中心と回折像の周縁を結んだ線と光軸とがつくる角）である。 x = k a sin θ = 2 π a λ q R = π q λ N {\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}}={\frac {\pi q}{\lambda N}}} , ここで q は観察平面（または焦点平面）の光軸からの半径であり、 N = R / d {\displaystyle N=R/d} は光学系のF値である（d=2a は円形開口の直径、 R は円形開口と観察平面の距離)。円形開口の直後にレンズを置くと、レンズの焦点平面上にエアリーパターンができる。ここではR = f (f はレンズの焦点距離) である。ただし、 θ → 0 {\displaystyle \theta \rightarrow 0} (または x → 0 {\displaystyle x\rightarrow 0} ) の極限値は I ( 0 ) = I 0 {\displaystyle I(0)=I_{0}} である。 J 1 ( x ) {\displaystyle J_{1}(x)} がゼロの値をとるのは x = k a sin θ ≈ 0 , 3.8317 , 7.0156 , 10.1735 , 13.3268 , 16.4706... {\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 0,3.8317,7.0156,10.1735,13.3268,16.4706...} のときである。これにより回折パターンの第1暗環は次の式で表される。 sin θ = 3.83 k a = 3.83 λ 2 π a = 1.22 λ 2 a = 1.22 λ d {\displaystyle \sin \theta ={\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}} . 観察平面上の第1暗環の半径 q 1 {\displaystyle q_{1}} と θ {\displaystyle \theta } の関係は次の式で表される。 q 1 = R sin θ {\displaystyle q_{1}=R\sin \theta } ここで R は円形開口からの距離である。エアリーディスクの光強度の半値幅 (where J 1 ( x ) = 1 / 2 {\displaystyle J_{1}(x)=1/2} ) は x = 1.61633... {\displaystyle x=1.61633...} 、 1/e2 点 ( J 1 ( x ) = 1 / e 2 {\displaystyle J_{1}(x)=1/e^{2}} で与えられる) は x = 2.58383... {\displaystyle x=2.58383...} 、第1明環の最輝部は x = 5.13562... {\displaystyle x=5.13562...} で与えられる。 回折パターン中心の光の強度 I 0 {\displaystyle I_{0}} と円形開口を通る光の強度 P 0 {\displaystyle P_{0}} の関係は次の式であらわされる。 I 0 = E A 2 A 2 2 R 2 = P 0 A λ 2 R 2 {\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}} ここで E {\displaystyle \mathrm {E} } 円形開口の単位面積あたりの光の強度、A は円形開口の面積 ( A = π a 2 {\displaystyle A=\pi a^{2}} ) 、 R は円形開口からの距離である。レンズの焦点平面上では、 I 0 = ( P 0 A ) / ( λ 2 f 2 ) {\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})} である。第1明環の最大強度はエアリーディスク中心の強度の約 1.75% である。 すでに述べた I ( θ ) {\displaystyle I(\theta )} の式は、回折パターンが所与の円内でどれだけの強度をもつかを示す次の式へと発展する。 P ( θ ) = P 0 [ 1 − J 0 2 ( k a sin θ ) − J 1 2 ( k a sin θ ) ] {\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]} ここで J 0 {\displaystyle J_{0}} と J 1 {\displaystyle J_{1}} はベッセル関数である。この式により算出される（中心に近いほうから）第1暗環・第2暗環・第3暗環 (ここでは J 1 ( k a sin θ ) = 0 {\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0} ) までの強度の累計は、集束した光の強度を100%とするとそれぞれ83.8% ・ 91.0% ・ 93.8% である。
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