数式による説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 02:53 UTC 版)
実際の現象を速さ（特性速度）が C の波動であるとする。この現象は次の移流方程式で記述される： ∂ u ∂ t + C ∂ u ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+C{\frac {\partial u}{\partial x}}=0} この方程式を時間ステップ幅Δt 、格子幅Δx として、時間微分に1次精度陽解法、空間微分に1次精度風上差分を用いて離散化すると、 u i n + 1 − u i n Δ t + C u i n − u i − 1 n Δ x = 0 {\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+C{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0} すなわち u i n + 1 = u i n − C Δ t Δ x ( u i n − u i − 1 n ) {\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {C\Delta t}{\Delta x}}(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n})} となる。このとき、情報が伝播する速さはΔx /Δt、実際の波の速さはCであるから Δ x Δ t > C {\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}>C} がCFL条件となる。この式を無次元数であるクーラン数 C Δt /Δx を使って、「クーラン数は1より小さくなければならない」と表現することもある。
※この「数式による説明」の解説は、「CFL条件」の解説の一部です。
「数式による説明」を含む「CFL条件」の記事については、「CFL条件」の概要を参照ください。
数式による説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 16:53 UTC 版)
「エクイティプレミアムパズル」の記事における「数式による説明」の解説
ここではMehra and Prescott & (2003)における説明を述べる。Mehra and Prescott & (2003)ではルーカス型資産価格モデルを用いた説明がなされている。完全市場の下で、消費者は単一の代表的個人で表され、消費者の効用関数は時間について加法分離的であり、さらにその効用関数は相対的リスク回避度が一定であるCRRA型効用関数であるとする。また市場では単一の株式とゼロ・クーポン債券のみが取引されているとする。この時、消費者は次の期待効用最大化問題を解く。 max c E 0 [ ∑ t = 0 ∞ β t u ( c t ) ] {\displaystyle \max _{c}E_{0}\left[\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}u(c_{t})\right]} subject to c t + p e , t q e , t + p b , t q b , t ≤ ( p e , t + d e , t ) q e , t − 1 + p b , t q b , t − 1 {\displaystyle {\mbox{subject to }}c_{t}+p_{e,t}q_{e,t}+p_{b,t}q_{b,t}\leq (p_{e,t}+d_{e,t})q_{e,t-1}+p_{b,t}q_{b,t-1}} ただし、 c t {\displaystyle c_{t}} は時点 t {\displaystyle t} における消費額であり、 q e , t , q b , t {\displaystyle q_{e,t},q_{b,t}} は時点 t {\displaystyle t} における株式と国債の保有量、 p e , t , p b , t {\displaystyle p_{e,t},p_{b,t}} は時点 t {\displaystyle t} における株式と国債の価格、 d e , t {\displaystyle d_{e,t}} は時点 t {\displaystyle t} における株式の配当である。 0 < β < 1 {\displaystyle 0<\beta <1} は効用の主観的割引率で、 E 0 {\displaystyle E_{0}} は期待値のオペレーターである。効用関数が時間について加法分離的とは、期待効用関数が各 t {\displaystyle t} 時点での効用 β t u ( c t ) {\displaystyle \beta ^{t}u(c_{t})} の総和で表されていることを意味する。CRRA型効用関数を仮定しているので、 u {\displaystyle u} の関数形は u ( c ) = { c 1 − γ 1 − γ γ ≠ 1 log ( c ) γ = 1 {\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\frac {c^{1-\gamma }}{1-\gamma }}&\gamma \neq 1\\\log(c)&\gamma =1\end{cases}}} となる。ここで γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} は相対的リスク回避度である。 この時、均衡において次の方程式が成立する。 p e , t = E t [ β u ′ ( c t + 1 ) u ′ ( c t ) ( p e , t + 1 + d e , t + 1 ) ] {\displaystyle p_{e,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}{\Big (}p_{e,t+1}+d_{e,t+1}{\Big )}\right]} p b , t = E t [ β u ′ ( c t + 1 ) u ′ ( c t ) p b , t + 1 ] {\displaystyle p_{b,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}p_{b,t+1}\right]} ただし、 u ′ {\displaystyle u^{\prime }} は u {\displaystyle u} の一階微分であり、 E t {\displaystyle E_{t}} は時点 t {\displaystyle t} までの情報による条件付き期待値のオペレーターである。さらに株式と債券のグロスリターンをそれぞれ R e , t + 1 = p e , t + 1 + d e , t + 1 p e , t {\displaystyle R_{e,t+1}={\frac {p_{e,t+1}+d_{e,t+1}}{p_{e,t}}}} R f , t + 1 = p b , t + 1 p b , t {\displaystyle R_{f,t+1}={\frac {p_{b,t+1}}{p_{b,t}}}} とし、消費の対数成長率を x t + 1 = log ( c t + 1 ) − log ( c t ) {\displaystyle x_{t+1}=\log(c_{t+1})-\log(c_{t})} とすれば、 x t + 1 {\displaystyle x_{t+1}} が正規分布に従うという仮定の下で次の2式が成立する。 log R f , t + 1 = − log β + γ E [ x t + 1 ] − 1 2 γ 2 V a r ( x t + 1 ) {\displaystyle \log R_{f,t+1}=-\log \beta +\gamma E[x_{t+1}]-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\mathrm {Var} (x_{t+1})} log E [ R e , t + 1 ] − log R f , t + 1 = γ V a r ( x t + 1 ) {\displaystyle \log E[R_{e,t+1}]-\log R_{f,t+1}=\gamma \mathrm {Var} (x_{t+1})} E [ x t + 1 ] , V a r ( x t + 1 ) {\displaystyle E[x_{t+1}],\mathrm {Var} (x_{t+1})} はそれぞれ消費の対数成長率の平均と分散なのでデータから計算可能である。消費者の選好にかかわるパラメータ β , γ {\displaystyle \beta ,\gamma } については、他の経済学の分野における研究により妥当な値とされる γ = 10 , β = 0.99 {\displaystyle \gamma =10,\beta =0.99} とする。これらの選好パラメータの数値と1889年から1978年にかけての米国における消費成長率から理論的な株式のリスクプレミアム E [ R e , t + 1 ] − R f , t + 1 {\displaystyle E[R_{e,t+1}]-R_{f,t+1}} を計算すると1.4%となる。これは先に述べた実際の株式のリスクプレミアム6.18%と比べると著しく小さい。もし他の値はそのままで、理論的な株式のリスクプレミアムが6.18%になるように相対的リスク回避度 γ {\displaystyle \gamma } を変更するとその値は50を超えるが、50以上の相対的リスク回避度というのは他の経済学における知見からすると全く整合的ではない。
※この「数式による説明」の解説は、「エクイティプレミアムパズル」の解説の一部です。
「数式による説明」を含む「エクイティプレミアムパズル」の記事については、「エクイティプレミアムパズル」の概要を参照ください。
- 数式による説明のページへのリンク
