単位根

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単位根

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/22 21:07 UTC 版)

単位根（たんいこん、英: unit root）とは、時間を通じて変化する確率過程が持つ、統計的推論に問題をもたらし得る側面の一つである。

もし線形な確率過程の特性方程式の根の一つが1であるならば、その確率過程は単位根を持つ。このような確率過程は非定常である。もしこの確率過程の特性方程式の他の根がすべて単位円の内側にあるならば、つまり絶対値が1以下ならば、この確率過程の1階差分は定常である。

定義

離散確率過程 $\{y_{t},t=1,\ldots ,\infty \}$

上の図は潜在的な単位根の例を描写している。赤の線が観測された生産量の下落を表している。緑の線はこの系列が単位根である場合の生産量の回復経路を示している。青の線はこの系列が単位根ではなく、トレンド定常過程である場合の生産量の回復経路を示している。青の線はダッシュ線のトレンドに追いつき追従する一方で緑の線はいつまでもトレンド線の下にある。単位根仮説からは生産量のスパイクが過去のトレンドより高いレベルの生産量の水準を導くこともまた言える。

経済学者は様々な経済的統計量、特に生産量^[4]、が単位根を持つか、もしくはトレンド定常過程かで議論を行っている^[5][6][7][8]。ドリフト付き単位根過程は、1次オーダーの場合、以下で与えられる。

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

ここで c は定数項であり、"ドリフト"項と見なされ、${\displaystyle e_{t}}$ はホワイトノイズである。たった1期間でもノイズ項の値が0でなければ、グラフで示すようにノイズは ${\displaystyle y_{t}}$ の値に恒久的な影響を与える。よって直線 ${\displaystyle y_{t}=a+ct}$ からの逸脱は非定常であり、どのようなトレンドにも戻ることはない。対照的にトレンド定常過程は以下で与えられる。

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

ここで k はトレンドの傾きであり、${\displaystyle u_{t}}$ はノイズである（単純な場合ではホワイトノイズであるが、より一般的にはノイズ自体が定常自己回帰過程である）。ここでは、どのような一時的ノイズも ${\displaystyle y_{t}}$ がトレンド上にあるという長期的傾向から置き換わることはない、これは図で示したとおりである。この過程は、トレンド線からの逸脱が定常であるがために、トレンド定常性と呼ばれる。

この問題は景気循環における文献で特に一般的である^[9][10]。この問題についての研究はGNPと他の生産集計量が単位根仮説を統計的に棄却し損ねたという Nelson と Plosser の研究から始まっている^[11]。それ以来、統計的方法についての技術的な批判にまつわる議論が行われている。いくつかの経済学者^[12]はGDPは単位根、もしくは構造変化を持ち、経済的な下落は恒久的に長期でのGDPの水準低下をもたらすだろう、と主張している。他の経済学者はGDPはトレンド定常的であると主張している。つまり、GDPが景気悪化の間下落したとしても、後にトレンドが予期している水準にまで戻り、ゆえに恒久的なGDPの下落は存在しないと主張している。単位根仮説についての文献が統計的方法についての難解な議論と整合的であるだろうという一方で、この仮説は経済予測と政策に有意な実証的含意をもたらしている。

脚注

1. ^ Sargan, John D.; Bhargava, Alok (1983). “Testing Residuals from Least Squares Regressions for Being Generated by the Gaussian Random Walk”. Econometrica 51 (1): 153–174. JSTOR 1912252. 
2. ^ Sargan, J. D.; Bhargava, Alok (1983). “Maximum Likelihood Estimation of Regression Models with First Order Moving Average Errors when the Root Lies on the Unit Circle”. Econometrica 51 (3): 799–820. JSTOR 1912159. 
3. ^ Granger, Clive W. J.; Newbold, Paul (1974), “Spurious Regressions in Econometrics”, Journal of Econometrics 2 (2): 111–120, doi:10.1016/0304-4076(74)90034-7 
4. ^ たとえばGDP
5. ^ “Trend Stationarity/Difference Stationarity over the (Very) Long Run”. Econbrowser (2009年3月13日). 2016年2月2日閲覧。
6. ^ Krugman, Paul (2009年3月3日). “Roots of evil (wonkish)”. The New York Times. http://krugman.blogs.nytimes.com/2009/03/03/roots-of-evil-wonkish/ 
7. ^ “Greg Mankiw Gets Technical”. Library of Economics and Liberty (2009年3月3日). 2012年6月23日閲覧。
8. ^ Verdon, Steve (2009年3月11日). “Economic Cage Match: Mankiw vs. Krugman”. Outside the Beltway. 2016年2月2日閲覧。
9. ^ Hegwood, Natalie; Papell, David H. (2007). “Are Real GDP Levels Trend, Difference, or Regime-Wise Trend Stationary? Evidence from Panel Data Tests Incorporating Structural Change”. Southern Economic Journal 74 (1): 104–113. JSTOR 20111955. 
10. ^ Lucke, Bernd (2005). “Is Germany‘s GDP trend-stationary? A measurement-with-theory approach”. Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik 225 (1): 60–76. JSTOR 23813277. http://www.wiso-net.de/genios1.pdf?START=0A1&ANR=215850&DBN=ZECO&ZNR=1&ZHW=-4&WID=59162-3020953-72523_1. 
11. ^ Nelson, Charles R.; Plosser, Charles I. (1982). “Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications”. Journal of Monetary Economics 10 (2): 139–162. doi:10.1016/0304-3932(82)90012-5. 
12. ^ オリビエ・ブランシャール と国際通貨基金は銀行危機後において「平均的には生産量はかつてのトレンドには戻らないだろう。そして恒久的にトレンドを下回るだろう」（"on average, output does not go back to its old trend path, but remains permanently below it."）と主張している。

関連項目

• ディッキー–フラー検定
• 拡張ディッキー–フラー検定
• ADF-GLS検定
• 単位根検定
• フィリップス–ペロン検定
• 共和分、単位根を持つ二つの変数の関係を決定する概念
• 加重対称単位根検定 （WS）
• Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin test、KPSS検定（英語版）として知られる。