中心極限定理

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中心極限定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/06 14:44 UTC 版)

サイコロを n 回振ったときの出た目の和 S_n = X₁ + … + X_n の分布が n を大きくするに従って正規分布による近似に近づく様子

中心極限定理（ちゅうしんきょくげんていり、英: central limit theorem, CLT）は、確率論・統計学における極限定理の一つ。

大数の法則によると、ある母集団から無作為抽出した標本の算術平均は、標本の大きさを大きくすると母集団の母平均に近づく。これに対して中心極限定理は、標本の算術平均と母平均との誤差の確率分布が、定理の条件が満たされれば、標本の大きさを大きくすると近似的に期待値ゼロの「正規分布」になることをいう。

なお、母集団の分散が存在しないあるいは有限の実数にならないときには、標本平均と母平均の誤差の分布の極限が正規分布と異なる場合もある。

中心極限定理は、統計学における基本定理であり、例えば世論調査における必要サンプルのサイズの算出等に用いられる。

定理

以下の定理はLindeberg (1922) による。

期待値 μ と分散 σ² を持つ独立同分布 ("i.i.d.") に従う確率変数列 X₁, X₂, … に対し $\textstyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$

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