極と零点とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 17:21 UTC 版)

再びZ領域でのフィードフォワード型コムフィルタの伝達関数を考える。 H ( z ) = z K + α z K {\displaystyle \ H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}\,} 見ての通り、 z K = − α {\displaystyle z^{K}=-\alpha } のとき分子がゼロになる。つまり、 K {\displaystyle K} の解は複素平面上の円周に等間隔で並ぶ。それらが伝達関数の零点である。分母は z K = 0 {\displaystyle z^{K}=0} のときゼロとなるので、 K {\displaystyle K} が一定なら z = 0 {\displaystyle z=0} が極となる。以上から次のような極と零点の図が得られる。 K = 8 {\displaystyle K=8} 、 α = 0.5 {\displaystyle \alpha =0.5} のときのフィードフォワード型コムフィルタの極（×）と零点（○） K = 8 {\displaystyle K=8} 、 α = − 0.5 {\displaystyle \alpha =-0.5} のときのフィードフォワード型コムフィルタの極（×）と零点（○）

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極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 17:21 UTC 版)

「コムフィルタ」の記事における「極と零点」の解説

再びZ領域でのフィードバック型コムフィルタの伝達関数を考える。 H ( z ) = z K z K − α {\displaystyle \ H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}\,} この場合、分子がゼロになるのは z K = 0 {\displaystyle z^{K}=0} のときであり、 K {\displaystyle K} が固定なら z = 0 {\displaystyle z=0} が零点となる。分母は z K = α {\displaystyle z^{K}=\alpha } のときゼロになる。これには K {\displaystyle K} 個の解があり、複素平面上の円周上に等間隔に並ぶ。それらが伝達関数の極である。以上から次のような極と零点の図が得られる。 K = 8 {\displaystyle K=8} 、 α = 0.5 {\displaystyle \alpha =0.5} のときのフィードバック型コムフィルタの極（×）と零点（○） K = 8 {\displaystyle K=8} 、 α = − 0.5 {\displaystyle \alpha =-0.5} のときのフィードバック型コムフィルタの極（×）と零点（○）

極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/04 06:35 UTC 版)

「チェビシェフフィルタ」の記事における「極と零点」の解説

八次第一種チェビシェフフィルタ（ε=0.1、 ω 0 = 1 {\displaystyle \omega _{0}=1} ）の利得の絶対値を複素周波数平面 (s=σ+jω) 上にプロットした図。白い点は極で、σ軸 0.3836...、ω軸 1.071... の楕円上に並んでいる。伝達関数の極は、これらの極のうち左半分にあるものである。黒い部分の利得は 0.05 以下、白い部分の利得は 20 以上である。単純化するため、遮断周波数を単位元に等しいとする。チェビシェフフィルタの利得の極 ( ω p m ) {\displaystyle (\omega _{pm})} は利得の分母の零点である。複素周波数 s を使うと、次が成り立つ場合である。 1 + ϵ 2 T n 2 ( − j s ) = 0 {\displaystyle 1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0} − j s = cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle -js=\cos(\theta )} と定義し、チェビシェフ多項式の三角関数定義を使うと、次が得られる。 1 + ϵ 2 T n 2 ( cos ⁡ ( θ ) ) = 1 + ϵ 2 cos 2 ⁡ ( n θ ) = 0 {\displaystyle 1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\epsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0} これを θ {\displaystyle \theta } について解くと θ = 1 n arccos ⁡ ( ± j ϵ ) + m π n {\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\epsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}} となる。アークコサインの複数の値は整数インデックス m を使って明示される。したがってチェビシェフ利得関数の極は次のようになる。 s p m = j cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,} = j cos ⁡ ( 1 n arccos ⁡ ( ± j ϵ ) + m π n ) {\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\epsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right)} 三角関数と双曲線関数の特性を使うと、これを以下の複素形式で書くことができる。 s p m ± = ± sinh ⁡ ( 1 n a r c s i n h ( 1 ϵ ) ) sin ⁡ ( θ m ) {\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arcsinh} \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})} + j cosh ⁡ ( 1 n a r c s i n h ( 1 ϵ ) ) cos ⁡ ( θ m ) {\displaystyle +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arcsinh} \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})} ここで m=1,2,...n であり、 θ m = π 2 2 m − 1 n {\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}} である。これは θ n {\displaystyle \theta _{n}} をパラメータとする方程式と見ることができ、極は s平面上で s=0 を中心とする楕円上に並ぶことがわかる。このとき、実数軸の径の長さは sinh ⁡ ( a r c s i n h ( 1 / ϵ ) / n ) {\displaystyle \sinh(\mathrm {arcsinh} (1/\epsilon )/n)} 、虚数軸の径の長さは cosh ⁡ ( a r c s i n h ( 1 / ϵ ) / n ) {\displaystyle \cosh(\mathrm {arcsinh} (1/\epsilon )/n)} となる。

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極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/04 06:35 UTC 版)

「チェビシェフフィルタ」の記事における「極と零点」の解説

八次第二種チェビシェフフィルタ（ε=0.1、 ω 0 = 1 {\displaystyle \omega _{0}=1} ）の利得の絶対値を複素周波数平面 (s=σ+jω) 上にプロットした図。白い点は極で、黒い点は零点。全部で16の極が見える。各零点は多重度が2で、12個の零点が見えており、4個が図の外にある（2つは ω 軸の正方向、2つは負方向）。伝達関数の極は、この図の左半分にある極。伝達関数の零点は、この図の零点と同じ位置だが、多重度は1。黒い部分の利得は 0.01 以下で、白い部分の利得は 3 以上ここでも遮断周波数は単位元に等しいとする。チェビシェフフィルタの利得の極 ( ω p m ) {\displaystyle (\omega _{pm})} は利得の分母の零点と等しい。 1 + ϵ 2 T n 2 ( − 1 / j s p m ) = 0 {\displaystyle 1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0} 第二種チェビシェフフィルタの利得の極は第一種フィルタの極の逆数となる。 1 s p m ± = ± sinh ⁡ ( 1 n a r c s i n h ( 1 ϵ ) ) sin ⁡ ( θ m ) {\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arcsinh} \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})} + j cosh ⁡ ( 1 n a r c s i n h ( 1 ϵ ) ) cos ⁡ ( θ m ) {\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arcsinh} \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})} ここで m=1,2,...,n である。第二種チェビシェフフィルタの零点 ( ω z m ) {\displaystyle (\omega _{zm})} は利得の分子がゼロになる点である。 ϵ 2 T n 2 ( − 1 / j s z m ) = 0 {\displaystyle \epsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0} したがって第二種チェビシェフフィルタの零点は、チェビシェフ多項式の零点の逆数となる。 1 / s z m = − j cos ⁡ ( π 2 2 m − 1 n ) {\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)} ここで m=1,2,...,n である。

極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 09:02 UTC 版)

「RC回路」の記事における「極と零点」の解説

どちらの伝達関数にも1つの極が次の位置にある。 s = − 1 R C {\displaystyle s=-{1 \over RC}} さらに、抵抗器の伝達関数には原点に零点がある。

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極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/20 04:05 UTC 版)

「楕円有理関数」の記事における「極と零点」の解説

n次の楕円有理関数の零点を、 x n , i ( ξ ) {\displaystyle x_{n,i}(\xi )} あるいは ξ {\displaystyle \xi } が明らかな場合は単に x n , i {\displaystyle x_{n,i}} と書く。また、楕円有理関数の零点は、有理式の分子の多項式の零点である。以下の楕円有理関数の零点の導出はチェビシェフ多項式の零点の決定と類似のものである。任意のzについて成り立つ次の等式を（ z = L n {\displaystyle z=L_{n}} の場合にも成り立つ）使う c d ( ( 2 m − 1 ) K ( 1 / z ) , 1 z ) = 0 {\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,} すると零点 x n , m {\displaystyle x_{n,m}} は、楕円有理関数のヤコビ楕円関数を用いた表示式から、次式を満たす。 n K ( 1 / L n ) K ( 1 / ξ ) c d − 1 ( x n , m , 1 / ξ ) = ( 2 m − 1 ) K ( 1 / L n ) {\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{n,m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})} したがって、零点の位置は（m=1,2,...,nとして）次のように与えられる x n , m = c d ( K ( 1 / ξ ) 2 m − 1 n , 1 ξ ) . {\displaystyle x_{n,m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).} 上述の「逆数関係」により，極の位置は x n , i x n , i ( p ) = ξ {\displaystyle x_{n,i}x_{n,i}^{(p)}=\xi \,} から簡単に計算できる。一般的には R m {\displaystyle R_{m}} と R n {\displaystyle R_{n}} の零点はヤコビ楕円関数の周期等分方程式を解いて求められるが，それらが四則と巾根だけによる代数的な式で (つまり楕円関数を用いずに）表せるのであれば，上記の入れ子関係を使うことで、 R m n {\displaystyle R_{m\,n}} の零点を代数的に表現できる。特に、次数 2 i 3 j {\displaystyle 2^{i}3^{j}} の楕円有理関数の零点の位置は代数的に表現することができる (Lutovac 2001, § 12.9, 13.9)。たとえば、 R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の零点は次のように表せる: X n ≡ R n ( ξ , x ) L n ≡ R n ( ξ , ξ ) t n ≡ 1 − 1 / L n 2 . {\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.} と定義すれば、「入れ子関係」を持ちいることで R 2 ( ξ , x ) = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}} t ≡ 1 − 1 / ξ 2 {\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}} とすれば、 L 2 = 1 + t 1 − t , L 4 = 1 + t 2 1 − t 2 , L 8 = 1 + t 4 1 − t 4 {\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}} X 2 = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 , X 4 = ( t 2 + 1 ) X 2 2 − 1 ( t 2 − 1 ) X 2 2 + 1 , X 8 = ( t 4 + 1 ) X 4 2 − 1 ( t 4 − 1 ) X 4 2 + 1 . {\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.} 最後の3つの式は逆に解くことができ、 x = 1 ± 1 + t ( 1 − X 2 1 + X 2 ) , X 2 = 1 ± 1 + t 2 ( 1 − X 4 1 + X 4 ) , X 4 = 1 ± 1 + t 4 ( 1 − X 8 1 + X 8 ) . {\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad } R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の零点を求めるには、 3番目の式で、 X 8 = 0 {\displaystyle X_{8}=0} としたうえで X 4 {\displaystyle X_{4}} の値2つを求め、求めた X 4 {\displaystyle X_{4}} を用いることで、2番目の等式から4つの X 2 {\displaystyle X_{2}} の値を求め、最後に、これらの値を使うことで最初の等式から R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の8つの零点を求めることができる。. ( t n {\displaystyle t_{n}} も同様な再帰で求めることができる。) また、逆数関係を用いれば、極の位置も求めることができる。

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極と零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 07:47 UTC 版)

「デデキントのイータ関数」の記事における「極と零点」の解説

ℑ τ > 0 {\displaystyle \Im \tau >0} であれば | e 2 π i τ | < 1 {\displaystyle \left|e^{2\pi {i}\tau }\right|<1} であるから、 | log ⁡ η ( τ ) | = | π i τ | 12 + ∑ m = 1 ∞ | log ⁡ ( 1 − e 2 π i τ m ) | = | π i τ | 12 + ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ m n | n = | π i τ | 12 + ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ n | n ( 1 − | e 2 π i τ n | ) ≤ | π i τ | 12 + 1 1 − | e 2 π i τ | ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ n | n ≤ | π i τ | 12 − log ⁡ ( 1 − | e 2 π i τ | ) 1 − | e 2 π i τ | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\log \eta (\tau )\right|&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left|\log(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\right|\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {mn}}\right|}{n}}\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|)}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+{\frac {1}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|e^{2\pi {i}\tau {n}}|}{n}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}-{\frac {\log(1-|e^{2\pi {i}\tau }|)}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\\\end{aligned}}} である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、 τ = q / r {\displaystyle \tau =q/r} が有理数であれば 1 − e 2 π i τ r = 0 {\displaystyle 1-e^{2\pi {i}\tau {r}}=0} であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。