フリードマン検定とは? わかりやすく解説

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フリードマン検定-->多重比較


 処理全体の差の検定有意なときにはシェッフェの方法による対比較を行うことができる。


例題
 「8 名のボランティアを被検者として,ある薬剤投与しない場合(0mg),102040,80mg 投与する場合の 5 通り処置行い効果測定した結果表 1ようになった薬剤効果があるかどうかを 5% の有意水準検定したところ,有意な差があると認められた。このとき,どの処理間に有意差があるかを多重比較により検討しなさい。」
表 1薬剤投与量による効果
投与量
検者 0mg 10mg 20mg 40mg 80mg
1 5 60 35 62 76
2 24 44 74 63 76
3 56 57 70 74 79
4 44 51 55 23 84
5 8 68 50 24 64
6 32 66 45 63 46
7 25 38 70 58 77
8 48 24 40 80 72



検定手順:
  1. 前提
  2. 被験者ごとに観察値 Xi1 , Xi2 , ... , Xij , ... , Xic の小さい順に順位 Oij(1 ≦ Oij ≦ c)をつける(同順位がある場合には平均順位をつける)。
    例題では表 2 のようになる
    表 2薬剤投与量による効果順位付け
    投与量
    検者 0mg 10mg 20mg 40mg 80mg
    1 1 3 2 4 5
    2 1 2 4 3 5
    3 1 2 3 4 5
    4 2 3 4 1 5
    5 1 5 3 2 4
    6 1 5 2 4 3
    7 1 2 4 3 5
    8 3 1 2 5 4

  3. 各処理の順位平均と分散を次式で定義する
    フリードマン検定-->多重比較
    フリードマン検定-->多重比較
    例題では,フリードマン検定-->多重比較 = 1.375,フリードマン検定-->多重比較 = 2.875,フリードマン検定-->多重比較 = 3.000,フリードマン検定-->多重比較 = 3.250,フリードマン検定-->多重比較 = 4.500。また,V = 80
  4. 処理 i と 処理 j の対比較のための検定統計量 Sij は次式で定義される
    フリードマン検定-->多重比較
    例題では,処理 1 と 処理 2 の対比較を行うために,S12 = { 8・8・( 5 - 1 )・( 1.375 - 2.875 )2 } / ( 2・80 ) = 3.6その他の組合せ同様にして,表 3 を得る。
    表 3.処理間の対比較の結果
    条件 Sij 有意確率P 値 検定結果
    処理 1 : 処理 2 3.600 0.4628369 n.s.
    処理 1 : 処理 3 4.225 0.3764110 n.s.
    処理 1 : 処理 4 5.625 0.2289584 n.s.
    処理 1 : 処理 5 15.625 0.0035659 **
    処理 2 : 処理 3 0.025 0.9999225 n.s.
    処理 2 : 処理 4 0.225 0.9941270 n.s.
    処理 2 : 処理 5 4.225 0.3764110 n.s.
    処理 3 : 処理 4 0.100 0.9987909 n.s.
    処理 3 : 処理 5 3.600 0.4628369 n.s.
    処理 4 : 処理 5 2.500 0.6446358 n.s.

  5. Sij は,自由度 c - 1 の χ2 分布に従う。
    例題では,表 3示した Sij はすべて,自由度 4 のχ2 分布に従う。
  6. 有意確率Pij = Pr{χ2 ≧ Sij}とする。
    χ2分布表,または χ2 分布の上確率計算参照すること。
    例題では,処理 1 と 処理 2 の対比較をするときに,自由度 4 の χ2 分布において,Pr{χ2 ≧ 9.49}= 0.05 であるからPij = Pr{χ23.6}> 0.05 である(正確な有意確率Pij = 0.4628369)。他も同様。
  7. 帰無仮説採否決める。

    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),処理 1 と 処理 2 の対比較をするときに,Pij > α であるから帰無仮説採択する。すなわち,「処理 1 と 処理 2 の間に差があるとはいえない」。
    他も同様に行う。
  8. 全ての群の組合せについて対比較を行ったとき,検定全体危険率が α 以下であることが保証される
    例題では,「処理 1 と 処理 5 の間には有意な差があるが,他の処理間には差がない」と結論することが,危険率 5% の下でいえる。



フリードマン検定


例題
 「表 1 のようなデータがある。4 種肥料間で収量に差があるか検定しなさい。」
表 1.フリードマン検定が対象とするデータ
肥料
 品種   B1   B2   B3   B4 
A1 9  17  12  16 
A2 1  21  16  11 
A3 7  19  6  9 



R による解析:
> friedman.test(matrix(c(9,17,12,16,1,21,16,11,7,19,6,9), ncol=4, byrow=T))

	Friedman rank sum test

data:  matrix(c(9, 17, 12, 16, 1, 21, 16, 11, 7, 19, 6, 9), ncol = 4, byrow = T) 
Friedman chi-squared = 7, df = 3, p-value = 0.0719



フリードマン検定


例題
 「8 名のボランティアを被検者として,ある薬剤投与しない場合(0mg),102040,80mg 投与する場合の 5 通り処置行い効果測定した結果は表 5 のようになった薬剤効果があるかどうかを 5% の有意水準検定しなさい。」
表 5.薬剤投与量による効果
投与量
検者 0mg 10mg 20mg 40mg 80mg
1 5 60 35 62 76
2 24 44 74 63 76
3 56 57 70 74 79
4 44 51 55 23 84
5 8 68 50 24 64
6 32 66 45 63 46
7 25 38 70 58 77
8 48 24 40 80 72



R による解析:
> dt <- matrix(c(
+ 	5,60,35,62,76,
+ 	24,44,74,63,76,
+ 	56,57,70,74,79,
+ 	44,51,55,23,84,
+ 	8,68,50,24,64,
+ 	32,66,45,63,46,
+ 	25,38,70,58,77,
+ 	48,24,40,80,72
+ 	), ncol=5, byrow=T)

> friedman.test(dt)

	Friedman rank sum test

data:  dt 
Friedman chi-squared = 15.9, df = 4, p-value = 0.003156



フリードマン検定


例題
 「8 名のボランティアを被検者として,ある薬剤投与しない場合(0mg),102040,80mg 投与する場合の 5 通り処置行い効果測定した結果は表 5 のようになった薬剤効果があるかどうかを 5% の有意水準検定しなさい。また,どの処理間に有意差があるかを多重比較により検討しなさい。」
表 5.薬剤投与量による効果
投与量
検者 0mg 10mg 20mg 40mg 80mg
1 5 60 35 62 76
2 24 44 74 63 76
3 56 57 70 74 79
4 44 51 55 23 84
5 8 68 50 24 64
6 32 66 45 63 46
7 25 38 70 58 77
8 48 24 40 80 72



R による解析:
> dt <- matrix(c(
+ 	5,60,35,62,76,
+ 	24,44,74,63,76,
+ 	56,57,70,74,79,
+ 	44,51,55,23,84,
+ 	8,68,50,24,64,
+ 	32,66,45,63,46,
+ 	25,38,70,58,77,
+ 	48,24,40,80,72
+ 	), ncol=5, byrow=T)

新しく定義した関数を使う

> friedman(dat)
$Result
  Statistics         d.f.      P value
15.900000000  4.000000000  0.003156326

$Statistics
        Group 1 Group 2 Group 3 Group 4 Group 5
Group 1   0.000   3.600   4.225   5.625  15.625
Group 2   3.600   0.000   0.025   0.225   4.225
Group 3   4.225   0.025   0.000   0.100   3.600
Group 4   5.625   0.225   0.100   0.000   2.500
Group 5  15.625   4.225   3.600   2.500   0.000

$P.value
            Group 1   Group 2   Group 3   Group 4     Group 5
Group 1 1.000000000 0.4628369 0.3764110 0.2289584 0.003565936
Group 2 0.462836887 1.0000000 0.9999225 0.9941270 0.376410966
Group 3 0.376410966 0.9999225 1.0000000 0.9987909 0.462836887
Group 4 0.228958421 0.9941270 0.9987909 1.0000000 0.644635793
Group 5 0.003565936 0.3764110 0.4628369 0.6446358 1.000000000



フリードマン検定


対応のあるデータにおいて,代表値間に差があるかどうか検定する。行と列入替えることで,被験者間に差があるかどうか検定できる。


例題
 「表 1 のようなデータがある。4 種肥料間で収量に差があるか検定しなさい。」
表 1.フリードマン検定が対象とするデータ
肥料
 品種   B1   B2   B3   B4 
A1 9  17  12  16 
A2 1  21  16  11 
A3 7  19  6  9 



検定手順:
  1. 前提
  2. r 種類対象に c 種の処理を行い観察値 Xij を得たとする(i=1,2,... ,r; j=1,2,... ,c)。 r は row,c は column の略
    表 2記号の定義
    被験者 処理1 処理2  …  処理c
    1 X11 X12 X1c
    2 X21 X22 X2c
    r Xr1 Xr2 Xrc

    例題では,r = 3c = 4 である。
  3. 被験者ごとに観察値 Xi1 , Xi2 , ... , Xij , ... , Xic の小さい順に順位 Oij(1 ≦ Oij ≦ c)をつける(同順位がある場合には平均順位をつける)。
  4. 表 3 に示すように,各処理ごとに順位の和 Rj計算する
    フリードマン検定
    表 3順位
    被験者 処理 1 処理 2  …  処理 c
    1 O11 O12  …  O1c
    2 O21 O22  …  O2c
    r Or1 Or2  …  Orc
    順位合計 R1 R2  …  Rc

    検算フリードマン検定
    例題場合表 4 のようになる
    表 4表 1データのフリードマン検定
    肥料
     品種   B1   B2   B3   B4   合計 
    A1 1  4  2  3 
    A2 1  4  3  2 
    A3 2  4  1  3 
    Rj 4  12  6  8  30 
    Rj2 16  144  36  64  260 

  5. 次式により検定統計量求める。χ20 は,自由度c - 1 の χ2 分布に従う。
    フリードマン検定
    例題では, χ20 = 7.0 であり,自由度 3 の χ2 分布に従う。
  6. 有意確率P = Pr{χ2 ≧ χ20}とする。
    χ2分布表,または χ2 分布の上確率計算参照すること。
    例題では,自由度 3 の χ2 分布において,Pr{χ2 ≧ 7.81}= 0.05 であるからP = Pr{χ2 ≧ 5.5}> 0.05 である(正確な有意確率P = 0.072)。
  7. 帰無仮説採否決める。

    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),P > α であるから帰無仮説採択する。すなわち,「肥料間の差があるとはいえない」といえる

 なお,処理の種類少な場合(c = 3,4,5 の場合)には統計数値表を参照して棄却限界値求め,以下の規則決定下す

注: 全体として処理間に差があるときには,どの処理間に差があるかについて多重比較対比較)を行うことができる。





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