あれんじめんととは? わかりやすく解説

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アレンジメント【arrangement】

読み方:あれんじめんと

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フラワーアレンジメント」の略。

「アレンジメント」に似た言葉

アレンジメント

読み方:あれんじめんと
【英】:arrangement

概要

超平面のアレンジメントとは, 有限個の超平面による空間分割である. 双対変換によって, 点集合超平面集合変換されるので, アレンジメント構造点集合上の関係構造にも対応する. また, 有向マトロイド線形表現でもある. アレンジメントのフェイスの数の数え上げや, 実際にその構造求めることは, 離散計算幾何の基礎となっており, ゾーン定理や, k \,-集合関係するレベルなど種々の有用な定理知られている.

詳説

 超平面のアレンジメント(hyperplane arrangement) とは, 超平面による空間分割である. 双対変換によって, 点集合超平面集合変換されるので, 点集合問題にも対応する. また, 離散システム観 点からは, 線形有向マトロイド1つ表現である. 組合せ幾何アルゴリズ ムからの詳しい解説が [1] にある.

 d\, 次元ユークリッド空間{\mathbf R}^d\, 内のn\, 個の超平面(d=2\, \, 場合直線) の集合H\, 考える. このH\, によって, {\mathbf R}^d\, いろいろな次元フェイス (face) に分割される. 例えば, 2次元内の有限個の直線集合は, 2次元, 1次元, 0次元フェイス (面, 辺, 点) に平面自然に分割する. これらのフェイス集合とその接続関係, 各フェイス対しそれを含む超平面情報合わせたものをH\, のアレンジメントといい, {\mathcal A}(H)\, と書く. フェイス次元明記したいときは, k\, 次元(0 \le k\le d)\, フェイスk\, -フェイスと書く. 0\, -フェイス頂点, 1\, -フェイスを辺, (d-1)\, -フェイスファセット (facet), d\, -フェイスセル (cell) とも呼ぶ.

 フェイスf\, フェイスg\, 部分フェイスであるとは, f\, 次元g\, 次元 より1だけ小さく, f\, g\, 境界含まれていることである. f\, g\, 部 分フェイスならば, f\, g\, は (互いに) 接続しているといい, この関係 を接続関係という. フェイス接続関係全体は束をなし, アレンジメントは, 各フェイス座標など幾何情報と, このフェイスのなす束で表される.

 {\mathbf R}^d\, 内のn\ge d\, 個の超平面のアレンジメントが単純 (simple) である とは, H\, 属す任意のd\, 個の超平面1点交わり, どのd+1\, 個の超平面 も共通の交点もたないことである. アレンジメントのk\, -フェイス最大f_k(H)\, は, アレンジメントが単純であるとき達成され,


f_k(H)=\sum_{i=0}^k {d-i\choose k-i}{n\choose d-i}\,


与えられる. 特に, d\, -フェイス, すなわちセルの数はd\, 定数とみなすと \textstyle f_d(H) ={\sum}_{i=0}^d {n\choose d-i}={\rm O}(n^d)\, となる.

 アレンジメントは逐次添加法で構成できる. 超平面1つずつ付け加え, アレンジメントの接続関係更新していく方法である. 2次元の場合で, 平面上のn\, 本の直線からなる単純なアレンジメントを構成する方法述べる. n\, 本の直線集合L=\{ l_1,l_2,\cdots ,l_n\}\, とし, (x,y)\, 平面上にあるとする. k-1\, 本の直線l_1,\cdots ,l_{k-1}\, からなるアレンジメントにk\, 番目の 直線l_k\, 加えてアレンジメントを更新する. 各頂点には, この頂点接続している4つの辺を反時計回りの 順で貯えておく. 各辺には, その辺を含む直線の式と辺の両端点の頂点覚えておく. x=-\infty\, l_k\, のすぐ上にある直線を左から辿り, この辺の下に接続している面の境界時計回り回って行く. l_k\, 交わった時は, その交点から始めて, 今度は隣の面の境界時計回りに辿る. これをl_k\, がすでにアレンジメントに存在していた k-1\, 本の直線と交わるまで行なう. この操作により, l_k\, 上に新たに現れる頂点もすべて列挙することができ, そこでアレンジメントを更新していくことができる. その手間は, 直線l_k\, と交わる面の境界上で 辿る辺の数比例する.

 d\, 次元n\, 個の超平面のアレンジメントにおいて, 新たに1つ超平面h\, 加え, h\, と交わる各セルフェイス集合ゾーン定義すると, 次のゾーン定理成り立つ.

ゾーン定理. d\, 次元空間内のn\, 個の超平面から成るアレンジメントにおいて, 1つ超平面ゾーンフェイス総数{\rm O}(n^{d-1})\, である.

 このゾーン定理より, アレンジメントを逐次添加法で構成したときの計算量{\rm O}(n^d)\, でおさえることができる.

 ゾーン定理離散幾何への応用1つ上げておく. d\, 次元n\, 超平面のアレンジメントのセル集合{\mathcal C}\, , 各セルc\in {\mathcal C}\, ファセットの数をd(c)\, としたとき, \textstyle {\sum}_{c\in{\mathcal C}}d(c)^2={\rm O}(n^d)\, 成り立つ. \textstyle {\sum}_{c\in{\mathcal C}}d(c)={\rm O}(n^d)\, であるから, 各セルファセットの数はそんなに分散大きくないことが わかる. 2次元の場合には, このような関係から複数セル辺の数評価することができる.

 d\, 次元超平面アレンジメントにおいて, x_d\, 軸に平行な直線貫いたときに下からk\, 番目となる交点をもつフェイス全体集合k\, -レベル, または単にレベル という. 2次元の場合, 高々k\, までのレベルサイズ{\rm O}(kn)\, であり, k\, -レベルサイズ{\rm O}(\sqrt{k}n)\, となる. 双対性より, これは平面n\, 点を直線等分割する方法の数が{\rm O}(n^{1.5})\, であることも 意味する. k\, -レベル{\rm O}(\sqrt{k}n(\log n)^2)\, 時間求め平面走査法アルゴリズム知られている.

 3次元平面のアレンジメントでもレベルサイズ{\rm o}(n^3)\, である. 4次元以上場合, 全体より小さオーダであるかどうかわかっていない. また, 高次元の場合 は, 0, 1次元フェイス頂点, 辺で構成されるスケルトンをたどるアルゴリズム知られており, 特に3次元ではアレンジメント全体求めるよりも効率よく計算できる. レベル1つセルスケルトン有用で, 点集合問題双対変 換して解いている場合, スケルトンのみで十分な場合もある.

 曲線曲面のアレンジメントも有用であり, このアレンジメントの1つセルゾーン組合せ複雑度の解析は, Davenport-Schinzel列の理論としてまとめられている. 定数次数代数曲線のアレンジメントでは, セルフェイス数は 一般次元全体オーダよりほぼ1つ小さな次数の数でおさえられる.



参考文献

[1] H. Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer-Verlag, 1987. 邦訳 (今井浩, 今井桂子訳), 『組合せ幾何学アルゴリズム』, 共立出版, 1995.

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