PSL(2, 7)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/07/16 14:45 UTC 版)
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射影特殊線型群PSL2(7) (別表記: PSL(2, 7), PSL2(F7), PSL(2, F7)など)もしくはそれと同型なPSL3(2) (別表記: PSL(3, 2), PSL3(F2), PSL(3, F2)など)は、代数学、幾何学、数論といった分野で重要な役割を持つ有限単純群である。PSL2(7)はクラインの平面4次曲線の自己同型群と同型で、またファノ平面の対称性の群とも同型である。位数168の単純群はPSL2(7)と同型であり、位数60の交代群A5(PSL2(4)、PSL2(5)、正二十面体群と同型。)に次いで2番目に小さな非可換単純群である。
定義
一般線型群GL2(7)は、7個の要素からなる有限体F7上の行列式が0でない2次正方行列全体のなす群である。SL2(7)はGL2(7)の部分群であり、行列式が1のものだけからなる。このときPSL2(7)は商群
として定義される。ここで、Iは単位行列である。すなわち、SL2(7)内で1倍と-1倍を同一視したものがPSL2(7)である。
同型
以下の群はすべて同型である。
- PSL2(7)
- GL3(2)
F2においてGL, SL, PGL, PSLの区別はないので、ただちに次の同型もわかる。- SL3(2)
- PGL3(2)
- PSL3(2)
- クラインの平面4次曲線の自己同型群
- ファノ平面の対称性の群
性質
PSL2(7)は168個の要素を持つ。これは行列の取り得る列の数を数え上げることで確認できる。1列目には72−1 = 48通りの組み合わせが存在する。2列目には72−7 = 42通りの組み合わせが存在する。ここで行列式が1のものを取り出すために7−1 = 6で割り、Iと-Iを同一視するので2で割る。すると (48×42)/(6×2) = 168が得られる。
一般にPSLn(q)は n, q ≥ 2 (qは素数の冪)のとき、 (n, q) = (2, 2), (2, 3)という例外を除いて単純群となる。 PSL2(2)は対称群S3に同型であり、PSL2(3)は交代群A4に同型である。PSL2(7)は交代群A5に次いで2番目に小さな非可換単純群である。
PSL2(7)は6個の共役類および非同型な既約表現をもつ。各共役類の大きさは1, 21, 42, 56, 24, 24であり、各既約表現の次元は1, 3, 3, 6, 7, 8である。
ただし とする。
PSL2(7)の位数は168=3×7×8なので、位数3,7,8のシロー部分群を持つ。素数位数の群は巡回群に限られるので、前者二つが巡回群であることは容易にわかる。共役類3A56の任意の要素はシロー3部分群を生成する。また、共役類7A24, 7B24の任意の要素はシロー7部分群を生成する。シロー2部分群は位数8の二面体群である。これは共役類2A21の任意の要素の中心化群として記述できる。GL3(2)としての実現では、シロー2部分群は上三角行列の全体と一致する。
参考文献
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M24 2010年4月15日閲覧。
さらに詳しく
- Brown, Ezra; Loehr, Nicholas (2009). “Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)?”. Am. Math. Mon. 116 (8): 727–732. doi:10.4169/193009709X460859. Zbl 1229.20046 .
関連項目
外部リンク
「PSL(2, 7)」の例文・使い方・用例・文例
- (在位1714‐27).
- (米国の以前の)陸軍省 (1789‐1947).
- 無所属の候補者,中田宏氏(37)が,3月31日に行われた横浜市長選挙で,市長に選出された。
- 帰国した拉致被害者は地(ち)村(むら)保(やす)志(し)さんと浜本富(ふ)貴(き)恵(え)さん(2人とも47),蓮(はす)池(いけ)薫(かおる)さん(45),奥(おく)土(ど)祐(ゆ)木(き)子(こ)さん(46),曽(そ)我(が)ひとみさん(43)である。
- ソフトバンクの孫(そん)正(まさ)義(よし)社長(47)や,ほか6人の情報技術(IT)関連の経営者が上位100人に入った。
- 3月12日,弘(ひろ)山(やま)晴(はる)美(み)選手(37)が名古屋国際女子マラソンで優勝した。
- 4億人目の来園者,弘(ひろ)中(なか)愛子さん(57)は東京都世(せ)田(た)谷(がや)区から訪れた。
- 雲(くも)田(だ)康(やす)夫(お)さん(67)は海外での豆腐の普及に貢献した日本人セールスマンだ。
- 照明デザイナーの石井幹(もと)子(こ)さん(69)と娘のリーサ明(あか)理(り)さん(37)がこのイベントを企画した。
- その受賞者は,シカゴ大学名誉教授の南(なん)部(ぶ)陽(よう)一(いち)郎(ろう)氏(87),高エネルギー加速器研究機構名誉教授の小林誠(まこと)氏(64),京都産業大学教授の益(ます)川(かわ)敏(とし)英(ひで)氏(68)である。
- 11月4日,民主党候補のバラク・オバマ氏(47)が第44代米国大統領に選ばれた。
- バラク・オバマ氏(47)が1月20日,ワシントン市にある米国連邦議会議事堂で就任の宣誓を行い,第44代米国大統領に就任した。
- 大会の優勝者は藤(ふじ)永(なが)佳(よし)子(こ)選手(27)で,タイムは2時間28分13秒だった。
- 女子の種目では,鶴(つる)見(み)虹(こう)子(こ)選手(17)が個人総合で銅メダルを,段違い平行棒で銀メダルを獲得した。
- 歌(か)舞(ぶ)伎(き)俳優の市川海(え)老(び)蔵(ぞう)さん(32)とニュースキャスターの小林麻(ま)央(お)さん(27)が1月29日,記者会見で婚約を発表した。
- 長(なが)島(しま)圭(けい)一(いち)郎(ろう)選手(27)が銀メダル,加藤条(じょう)治(じ)選手(25)が銅メダルを獲得した。
- 寺(てら)島(じま)しのぶさん(37)が第60回ベルリン国際映画祭で最優秀女優に贈られる銀熊賞を受賞した。
- 女子回転と大回転では,大(お)日(び)方(なた)邦(くに)子(こ)選手(37)が銅メダルを獲得した。
- シーズン前期終了時までに,小西投手(27)は5勝を挙げ,最多勝でトップタイだった。
- 宇宙飛行士の若(わか)田(た)光(こう)一(いち)さん(47)が国際宇宙ステーション(ISS)の船長に日本人として初めて就任する予定だ。
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