関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)
可微分多様体上の関数の微分を定義する様々な方法があるが、最も基本的なのは方向微分である。方向微分の定義は多様体がベクトルを定義する適切なアフィン構造を欠いているという事実によって複雑である。したがって方向微分はベクトルの代わりに多様体内の曲線を見る。
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関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/05 10:15 UTC 版)
M を滑らかな多様体とし f ∈ C∞(M) を滑らかな関数とする。点 x における f の微分は写像 dfx(Xx) = Xx(f) ただし Xx は導分 (derivation) と考えられる x における接ベクトル（英語版）である。つまり X ( f ) = L X f {\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f} は方向 X の f のリー微分であり、df(X)=X(f) が成り立つ。同じことだが、接ベクトルを曲線の接線と考えることができ、 dfx(γ′(0)) = (f o γ)′(0) と書く。どちらの場合にも、dfx は TxM 上の線型写像でありしたがってそれは x における余接ベクトルである。 すると点 x における微分写像 (differential map) d : C∞(M) → Tx*M を f を dfx に送る写像として定義できる。微分写像の性質は次を含む： d は線型写像である： 定数 a, b に対して d(af + bg) = a df + b dg, d(fg)x = f(x)dgx + g(x)dfx, 微分写像は上で与えられた余接空間の2つの alternate 定義の間のつながりを提供する。関数 f ∈ Ix （x において消える滑らかな関数）が与えられると上記のように線型汎関数 dfx を構成することができる。写像 d が Ix2 上 0 に制限する（読者はこれを確かめよ）から d は Ix / Ix2 から接空間の双対 (TxM)* への写像を誘導する。この写像は同型写像であり2つの定義の同値性を確立することを示すことができる。
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関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 06:28 UTC 版)
m 次元 Cr 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p における 接ベクトル v は、 p の近傍で定義された Cr 級関数 f を実数 v(f) に対応させる関数である。 v : f → v(f) ∈ R v(f) は接ベクトル v と関数 f の組であり、 v を固定して、 f に対して値が定まると考えてきた。逆に f を固定して dfp : v → v(f) という関数も考えることができる。この dfp を f の p における 微分 (differential) という。 接ベクトルのなす空間 Tp(M) は R 上の線型空間であることから、 Tp(M) から R への線型写像のなす双対ベクトル空間 Tp*(M) = HomR( Tp(M) , R) が定まるが、 微分 dfp はこの Tp*(M) の元である。 Tp*(M) のことを M の p における余接ベクトル空間 (cotangent vector space) という。 特に p を含む座標近傍 (U;x1,…,xm) があるとき、関数 f として 局所座標系の成分の一つである xk を選べば、その p における微分は (dxk)p となり ( d x i ) p ( ∂ ∂ x j ) p = δ i j , 1 ≤ i , j ≤ m {\displaystyle \left(dx_{i}\right)_{p}\left({\partial \over \partial x_{j}}\right)_{p}=\delta _{ij},1\leq i,j\leq m} である。右辺の δij はクロネッカーのデルタとする。 ここに現れた dxk という記号は、微分形式として積分 ∫ f(x) dx に現れる dx と、しばしば同一視される。通常の積分では∫と dx は、一組の記号でありそれぞれを別個の物として扱うことはできないが、各点で余接ベクトルとみなせば、 dx という記号に意味を持たせることができる。各点に余接ベクトルを与えたものであるので、正確には余接ベクトル場を考えることになる。
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関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:48 UTC 版)
詳細は「関数の微分」を参照 U ⊆ R を開集合（例えば区間 (a, b) ）とし、微分可能な関数 f: U → R を導関数 f′ とともに考えよう。点 x0 ∈ U における f の微分 df は変数 dx のある線型写像として定義される。具体的には、 d f ( x 0 , d x ) : d x ↦ f ′ ( x 0 ) d x {\displaystyle df(x_{0},dx)\colon dx\mapsto f'(x_{0})dx} 。（記号 dx の意味は次のように明らかにされる： それは単純に関数 df の引数、あるいは独立変数である。）したがって写像 x ↦ d f ( x , d x ) {\displaystyle x\mapsto df(x,dx)} は各点 x を線型汎関数 df(x, dx) に送る。これは微分 (1-)形式の最も簡単な例である。 ド・ラーム（英語版）複体の言葉で言えば、0-形式（スカラー関数）から 1-形式への対応 f ↦ d f {\displaystyle f\mapsto df} である。
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