関数の連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/03 14:13 UTC 版)
「イプシロン-デルタ論法」の記事における「関数の連続性」の解説
実関数 f: R → R が lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)} を満たすとき、f(x) は x = a で連続であるという。この条件は関数の極限を ε-δ論法で表すことで定義される。開区間 I = (p, q) 上の任意の点 a ∈ I で f(x) が連続であるとき、f は I 上連続であるという。これを ε-δ論法で定義すると ∀ ε > 0 , ∀ a ∈ I , ∃ δ > 0 s . t . ∀ x ∈ I [ | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( a ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\forall }a\in I,\;{}^{\exists }\delta >0\;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }x\in I\;[|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon ]} となる。 s.t.句の最初に現れる ∀x ∈ I という条件によって I が閉区間 [p, q] の時もその端点での f(x) の片側連続性 lim x → p + f ( x ) = f ( p ) {\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x)=f(p)} lim x → q − f ( x ) = f ( q ) {\displaystyle \lim _{x\to q-}f(x)=f(q)} が定義される。半開区間 [p, q) や (p, q] などのときも同様である。 このように連続性を ε-δ論法で定義した場合 δ は ε と a の両方に依存する可能性がある。 連続性の定義の条件の順序を変えて ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s . t . ∀ a ∈ I , ∀ x ∈ I [ | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( a ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }a\in I,{}^{\forall }x\in I\;[|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon ]} とした場合、δ は ε のみに依存し、a に依存しない。この時 f(x) は I 上一様連続であるという。 例えば、I = (0,1] とし、その上で定義された関数 f(x) = 1/x は、連続であるが一様連続ではない。なぜなら、どんな δ を選んでも、 a = min ( δ , 1 ) {\displaystyle a=\min(\delta ,1)} , x = a/1 + a のとき | x − a | = | a 1 + a − a | = a 2 1 + a < a = min ( δ , 1 ) ≤ δ {\displaystyle \left|x-a\right|=\left|{\frac {a}{1+a}}-a\right|={\frac {a^{2}}{1+a}} ※この「関数の連続性」の解説は、「イプシロン-デルタ論法」の解説の一部です。
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