関数体と有理写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 00:10 UTC 版)
X を代数多様体とし、U1, U2 をそのアフィン開部分多様体とすると、もう一つのアフィン開部分多様体 W が存在して W ⊂ U1 ∩ U2 となる。従って、これらの代数多様体に対応する座標環を考えると U1, U2 の座標環 A(U1), A(U2) は、W の座標環 A(W) に含まれている。したがって、これらの座標環の商体（アフィン代数多様体の座標環は整域である）はすべて一致する。したがって、X のアフィン開部分集合 U の座標環の商体は U の取り方によらず定まっている。この体を X の関数体 (function field) と呼び k(X) で表す。 X, Y を代数多様体とするとき、X の開部分多様体 U から Y への射 f: U → Y を有理写像 (rational map) と呼ぶ。別の開部分多様体 V ⊂ X から Y への射 g: V → Y に対して、 f と g が U ∩ V で一致するとき、f と g は同値な有理写像を定めると言う。有理写像の同値類を f: X -→ Y のように破線矢印で表す。同値類 f: X -→ Y に射 f: U → Y が属しているとき、f は U 上定義されると言う。 有理写像 f: X -→ Y が定義されるアフィン代数多様体 U を十分小さく取り、f(U) が Y のアフィン開部分多様体 V に含まれるようにすれば、f は座標環の間の準同型 f*: A(V) → A(U) を誘導する。商体に移れば、関数体の間の k-準同型 f*: k(Y) → k(X) が定まる。この準同型 f*: k(Y) → k(X) は、U, V の取り方によらず、有理写像 f（の同値類）のみによって定まる。 逆に、k-準同型 φ: k(Y) → k(X) は、X, Y の十分小さなアフィン開部分多様体の間の射を誘導するので、有理写像 f: X -→ Y を定める。このようにして、代数多様体の間の有理写像の同値類は、関数体の間の k-準同型と1対1に対応している。 有理写像 f: X -→ Y が関数体の同型 k ( X ) ≅ k ( Y ) {\displaystyle k(X)\cong k(Y)} を誘導するとき、f は双有理写像 (birational map) であるという。二つの代数多様体 X, Y の間に双有理写像が存在するとき、X と Y は双有理同値 (birationally equivalent) であるという。同型な2つの代数多様体は双有理同値であるが、双有理同値な2つの代数多様体は同型とは限らない（概説参照）。
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