フィッシャーの正確確率検定（直接確率）
例題：
「表 1 のようなクロス集計表に基づき，“甘いものが好きか嫌いか”と“虫歯の有無”の間に関連があるか検定しなさい。」
| 虫歯 | ||||
|---|---|---|---|---|
| あり | なし | 合計 | ||
| 甘いもの | 好き | 13 | 4 | 17 |
| 嫌い | 6 | 14 | 20 | |
| 合計 | 19 | 18 | 37 | |
R による解析：
> tbl3 <- matrix(c(13, 4, 6, 14), ncol=2, byrow=T) > tbl3 [,1] [,2] [1,] 13 4 [2,] 6 14 > # 両側検定 > fisher.test(tbl3) Fisher's Exact Test for Count Data data: tbl3 p-value = 0.008138 alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 95 percent confidence interval: 1.440142 43.843385 sample estimates: odds ratio 7.11257 > # 片側検定 > fisher.test(tbl3, alternative="g") Fisher's Exact Test for Count Data data: tbl3 p-value = 0.005855 alternative hypothesis: true odds ratio is greater than 1 95 percent confidence interval: 1.770426 Inf sample estimates: odds ratio 7.11257
フィッシャーの正確確率検定（直接確率）
例題：
「13 人の学生について，自動車運転免許を持っているかどうかを調査した結果が，表 5 のようにまとめられた。男女で免許保有率に差があるかどうか検定しなさい。」
| あり | なし | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 男子 | 4 | 2 | 6 |
| 女子 | 1 | 6 | 7 |
| 合計 | 5 | 8 | 13 |
R による解析：
> tbl4 <- matrix(c(4, 2, 1, 6), ncol=2, byrow=T) > tbl4 [,1] [,2] [1,] 4 2 [2,] 1 6 > fisher.test(tbl4) Fisher's Exact Test for Count Data data: tbl4 p-value = 0.1026 alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.5364938 682.2665965 sample estimates: odds ratio 9.47099
フィッシャーの正確確率検定（直接確率）
2 × 2 分割表において，4 つの桝目のいずれかの期待値が 5 以下のときには，「χ2 分布を利用する独立性の検定」は不適当である。そのような場合には本法により独立性の検定を行う。
例題：
「表 1 のようなクロス集計表に基づき，“甘いものが好きか嫌いか”と“虫歯の有無”の間に関連があるか検定しなさい。」
この問は，「甘いものが好きな群と嫌いな群で，虫歯の保有率に差があるか検定しなさい。」とも解釈できる。
| 虫歯 | ||||
|---|---|---|---|---|
| あり | なし | 合計 | ||
| 甘いもの | 好き | 13 | 4 | 17 |
| 嫌い | 6 | 14 | 20 | |
| 合計 | 19 | 18 | 37 | |
検定手順：
- 前提
- 2 変数 A，B についての分割表を表 2 のように定義する。
2 群の比率の差の検定を行うと解釈する場合には要因 A（または要因 B）が群になる。
表 2．2 × 2 分割表 要因 B B1 B2 合計 要因 A A1 a b e A2 c d f 合計 g h n
- 周辺度数 e，f，g，h を固定した分割表は複数個考えられるが，観察された分割表が得られる確率は次式のようになる。
Pa = eCa × fCc / nCg = ( e! f! g! h! ) / ( n! a! b! c! d! )
これを，例題で説明しよう。
- まず，“甘いものが好き”な 17 人から 13 人を取り出す取り出し方は，
17C13 = 2380 通りある。
- 同様に，“甘いものが嫌い”な 20 人から 6 人を取り出す取り出し方は，
20C6 = 38760 通りある。
- “甘いものが好き”なのと“甘いものが嫌い”なのは“独立事象”なので，“甘いものが好き”な 17 人から 13 人，“甘いものが嫌い”な 20 人から 6 人を取り出す取り出し方は，
17C13 × 20C6 = 2380 × 38760 = 92248800 通りあることになる。
- ここで，全体の人数 37 人から 13 + 6 = 19 人を取り出す取り出し方は，
37C19 = 17672631900 通りある。
- したがって，表 1 のような 2 × 2 分割表の生起確率は，
Pa = 17C13 × 20C6 / 37C19 = 2380・38760 / 17672631900 = 0.00522
であると計算できる。
- まず，“甘いものが好き”な 17 人から 13 人を取り出す取り出し方は，
- 周辺度数を固定したとき，2 × 2 分割表の自由度は 1 であり，4 つの桝目のどれか 1 つを決めれば，残りの桝目は自動的に決る。
例題では，a をいろいろと変えることによって，表 3 のような分割表が得られる。
表 3．周辺度数を固定したときの 2 × 2 分割表 虫歯 あり なし 合計 甘いもの 好き 0 17 17 嫌い 19 1 20 合計 19 18 37 左下からの続き
：
：虫歯 あり なし 合計 甘いもの 好き 1 16 17 嫌い 18 2 20 合計 19 18 37 虫歯 あり なし 合計 甘いもの 好き 15 2 17 嫌い 4 16 20 合計 19 18 37 虫歯 あり なし 合計 甘いもの 好き 2 15 17 嫌い 17 3 20 合計 19 18 37 虫歯 あり なし 合計 甘いもの 好き 16 1 17 嫌い 3 17 20 合計 19 18 37 ：
：
右上へ続く虫歯 あり なし 合計 甘いもの 好き 17 0 17 嫌い 2 18 20 合計 19 18 37
- 観察された 2 × 2 分割表の生起確率を Po とする。
例題では，Po = 0.005219867676 である。
- 表 3 のようなそれぞれの分割表が得られる確率 Pa を計算する。
また，2 要因の関連の強さの指標として，a d - b c を定義し，それぞれに対応したものを Sa，So とする。
例題では，これらをまとめると，表 4 のようになる。
表 4．分割表の生起確率 a b c d a d - b c 分割表の生起確率 累積確率 1 累積確率 2 0 17 19 1 -323 @ 0.000000001132 0.000000001132 1.000000000000 1 16 18 2 -286 @ 0.000000182768 0.000000183900 0.999999998868 2 15 17 3 -249 @ 0.000008772887 0.000008956787 0.999999816100 3 14 16 4 -212 @ 0.000186423846 0.000195380633 0.999991043213 4 13 15 5 -175 @ 0.002087947070 0.002283327703 0.999804619367 5 12 14 6 -138 0.013571655957 0.015854983660 0.997716672297 6 11 13 7 -101 0.054286623828 0.070141607487 0.984145016340 7 10 12 8 -64 0.138624771560 0.208766379047 0.929858392513 8 9 11 9 -27 0.231041285933 0.439807664981 0.791233620953 9 8 10 10 10 0.254145414527 0.693953079507 0.560192335019 10 7 9 11 47 0.184833028747 0.878786108254 0.306046920493 11 6 8 12 84 0.088215763720 0.967001871974 0.121213891746 12 5 7 13 121 0.027143311914 0.994145183887 0.032998128026 13 4 6 14 158 @ 0.005219867676 0.999365051563 0.005854816113 14 3 5 15 195 @ 0.000596556306 0.999961607869 0.000634948437 15 2 4 16 232 @ 0.000037284769 0.999998892638 0.000038392131 16 1 3 17 269 @ 0.000001096611 0.999999989249 0.000001107362 17 0 2 18 306 @ 0.000000010751 1.000000000000 0.000000010751 太字は観察された分割表。
@ は両側・片側検定での有意確率の計算に使われるもの。
- 検定は，表 4 のような結果に基づいて以下のようにして行う。(注)
- 片側検定の場合
例題は両側検定を要求しているが，片側検定の場合について説明する。例題では，表 4 において，観察された表を含めてそれよりも極端な側の分割表は，a = 13，14，15，16，17 の 5 つの表である。したがって，
P = P13 + P14 + P15 + P16 + P17
= 0.005219867676 + 0.000596556306 + 0.000037284769 + 0.000001096611 + 0.00000001075
= 0.0058548
となり，帰無仮説は棄却される。
- 両側検定の場合
例題では，表 4 において，観察された表を含めてそれよりも極端な側の分割表は，a = 0，1，2，3，4，13，14，15，16，17 の 10 個の表である。したがって，
P = P + P1 + P2 + P3 + P4 + P13 + P14 + P15 + P16 + P17
= 0.000000001132 + 0.000000182768 + 0.000008772887 + 0.000186423846 + 0.002087947070 + 0.005219867676 + 0.000596556306 + 0.000037284769 + 0.000001096611 + 0.00000001075
= 0.0081381
となり，帰無仮説は棄却される。
- 片側検定の場合
注：P 値を求めるためにここで示した方法は，Pearson のカイ二乗法と呼ばれるものである。この方法では，分割表において独立性の検定のためのカイ二乗統計量を計算し，その値が観察された分割表に対して計算されるものよりも大きい分割表を「極端な分割表」とするものである。上の計算では ad-bc を計算しているが，これはカイ二乗統計量の構成要素である。
Fisher が示した正確確率検定は，観察された分割表の生起確率よりも小さな生起確率を持つ分割表を「極端な分割表」であるとして，その生起確率を加えたものを P 値とするものである。
二つの方法による P 値は多くの場合には一致するが，異なることもある。
いくつかの注意点
Excel を使って計算するときには...
フィッシャーの正確確率検定と同じ種類の言葉
| 検定に関連する言葉 | スピアマンの順位相関係数の有意性検定 母分散の検定 フィッシャーの正確確率検定 かながわ検定 適合度の検定 |
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