いくつかの注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 16:01 UTC 版)
a < b ならば、a を下端、b を上端とするリーマン積分は区間 [a, b] の分割からさだまるリーマン和の極限として定義されるが、a> b のときは区間 [a, b] 自体が存在しないのでそのままではリーマン和も考えることができない。しかし規約として a > b のときは ∫ a b f ( x ) d x := − ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx:=-\int _{b}^{a}f(x)dx} あるいはもっと記号的に ∫ a b := − ∫ b a {\displaystyle \int _{a}^{b}:=-\int _{b}^{a}} であるものとすることがしばしば行われる。この規約の元では区間に対する加法性 ∫ a b = ∫ a γ + ∫ γ b {\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{\gamma }+\int _{\gamma }^{b}} は分点 γ が γ < a, a ≤ γ < b, b ≤ γ のいずれであるかに関わらず成立する。もっと一般に、向き付けられた d-次元多様体 M が与えられたとき、その向きを逆にして得られる多様体を Mop とし、ω を微分 d-形式とすれば ∫ M ω = − ∫ M op ω {\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M^{\text{op}}}\omega } が成り立つ。これに対し、ルベーグ積分の文脈では R の有限区間 E = [a, b] 上の積分 ∫ E f ( x ) d x = ∫ [ a , b ] f ( x ) d x := ∫ R χ E ( x ) f ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f(x)dx=\int _{[a,b]}f(x)dx:=\int _{\mathbb {R} }\chi _{E}(x)f(x)dx} とは、E の指示関数 χE における汎関数 dx の値であり、b < a ならば E は空集合で χE が恒等的に 0 となるから積分値は 0 である。
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