フィッシャーの正確確率検定への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 22:47 UTC 版)
「超幾何分布」の記事における「フィッシャーの正確確率検定への応用」の解説
「フィッシャーの正確確率検定」および「壺問題」も参照 元々、N個のビー玉が壺の中に入っていて、そのうち緑玉がK個、赤玉はN-K個であったとする。この中から（目を瞑って）n個のビー玉を非復元抽出で取り出したとする。このとき、（n回の試行のうち）緑玉がk回取り出される確率を求めたい。なお、壺には緑玉と赤玉以外には入っておらず、同色同士の玉は区別できないものとする。 この問題において、「成功」を「緑玉」に、「失敗」を「赤玉」例えることで、超幾何分布の問題に帰着でき、k回成功する確率(即ち、k回緑玉が取り出される確率)は、以下のようになる。 P ( X = k ) = f ( k ; N , K , n ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) . {\displaystyle P(X=k)=f(k;N,K,n)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.} この確率は普通の仮説検定で有意差を表す「p値」とは違い、p値を求めるには（普通の検定と同じように）実際の観測データよりも極端な場合も含めて考えなければならない。また、成功/失敗を検討してはいるが、ビー玉を取り出す毎に壺の中に残されたビー玉の個数は次々に変化し、各試行での成功確率は同じではないため、この問題は二項分布では正確にモデル化できない。 四分割表に対する独立性の検定との対比を取るために、この問題を四分割表で表現することを考える。N,m,nが固定されれば周辺度数（marginal frequency：第3列および第3行の値）は全て固定され、下表のようになる。さらに、O11を確定すれば、残りのO12,O21,O12は確定する。今、ここで、さらに、O11=X=kとすると、下表のように、四分割表の値が全て確定する。 緑玉(成功)赤玉（失敗）Row Total 壺から取り出された O11=k O12=n − k n 壺に残った O21=K − k O22=N + k − n − K N − n Column Total K N − K N 例えば、上記の問題において、N=50, K=5、n=10の場合を考える。即ち、壺の中には、元々5個の緑玉と45個の赤玉が入っていたものとする。この壺から（目をつぶって）10個のビー玉を非復元的に取り出すことを考える。 このとき、例えば, k=4であれば、四分割表とP(X=4)は以下のようになる。 P ( X = 4 ) = f ( 4 ; 50 , 5 , 10 ) = ( 5 4 ) ( 45 6 ) ( 50 10 ) = 5 ⋅ 8145060 10272278170 = 0.003964583 … . {\displaystyle P(X=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}={5\cdot 8145060 \over 10272278170}=0.003964583\dots .} 緑玉(成功)赤玉（失敗）Row Total 壺から取り出された 4 6 10 壺に残った 1 39 40 Column Total 5 45 50 さらに、k=5の場合を考える。P(X=5)は以下のようになる。 P ( X = 5 ) = f ( 5 ; 50 , 5 , 10 ) = ( 5 5 ) ( 45 5 ) ( 50 10 ) = 1 ⋅ 1221759 10272278170 = 0.0001189375 … , {\displaystyle P(X=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}={1\cdot 1221759 \over 10272278170}=0.0001189375\dots ,} これらを比較すると、緑玉が5個の取り出される確率は、4個取り出される確率より約35倍低くなることが判る。
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