ド・ブロイの関係との整合性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:15 UTC 版)
「シュレーディンガー方程式」の記事における「ド・ブロイの関係との整合性」の解説
アインシュタインの光電効果仮説（1905年）によれば、光子のエネルギーE は、光の対応する光量子波束の周波数 ν（もしくは角周波数 ω = 2πν）に比例する。 E = h ν = ℏ ω {\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega \,\!} 同様に、ド・ブロイの仮説（1924年）によれば、どのような粒子も波と関連付けることができ、その粒子の運動量p は、波数ベクトルk に比例する： p = ℏ k . {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\hbar {\boldsymbol {k}}\;.} 特に、1 次元の運動では波数ベクトルk の絶対値は波長 λ に反比例する (k = 2π/λ)。従って、1 次元の運動に限定すれば、上の式は波長 λ を使って以下のように書くこともできる: p = h λ {\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}} プランク-アインシュタインの関係とド・ブロイの関係 E = ℏ ω , p = ℏ k {\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad {\boldsymbol {p}}=\hbar {\boldsymbol {k}}} は、運動量と空間、時間とエネルギーの間の深い関係を照らしており、波動性と粒子性の二重性を表している。ħ = 1 となるような自然単位系を用いて、方程式 を以下の恒等式 にするとより明白となる。 E = ω , p = k . {\displaystyle E=\omega ,\quad {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {k}}.} このような単位系の下では、エネルギーと角振動数は時間の逆数として同じ次元を持ち、運動量と波数は長さの逆数の次元を持つ。したがって、エネルギーと角振動数、運動量と波数は互いに同じものとして入れ替えて使うことができる。自然単位系を用いることによって文字の重複を防ぎ、現れる物理量の次元を減らすことができる。しかしながら自然単位系は馴染みがないため、本稿では以降も国際単位系を用いる。 1925年の終わり、シュレーディンガーの見識は、平面波の位相は以下の関係を使って複素数の力率として表した。 Ψ ( r , t ) = A e i ( k ⋅ r − ω t ) = A e i p ⋅ r − E t ℏ . {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}},t)=Ae^{i({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t)}=Ae^{i{\frac {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {r}}-Et}{\hbar }}}.} そして空間に対する一次偏微分を ∇ Ψ ( r , t ) = i ℏ p A e i p ⋅ r − E t ℏ = i ℏ p Ψ ( r , t ) {\displaystyle \nabla \Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {p}}Ae^{i{\frac {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {r}}-Et}{\hbar }}}={\dfrac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {p}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)} そして時間に対して ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = − i E ℏ A e i p ⋅ r − E t ℏ = − i E ℏ Ψ ( r , t ) {\displaystyle {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {iE}{\hbar }}Ae^{i{\frac {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {r}}-Et}{\hbar }}}=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)} 導関数を示す { − i ℏ ∇ Ψ ( r , t ) = p Ψ ( r , t ) ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = − i E ℏ Ψ ( r , t ) → { − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) = 1 2 m p ⋅ p Ψ ( r , t ) i ℏ ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = E Ψ ( r , t ) {\displaystyle {\begin{cases}-i\hbar \nabla \Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\boldsymbol {p}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\\{\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\end{cases}}\rightarrow \quad {\begin{cases}-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\\i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=E\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\end{cases}}} もう一つの量子力学の仮定は、すべてのオブザーバブルは波動関数に作用する自己共役な線型演算子で表され、その演算子の固有値はオブザーバブルの取り得る値になる。前の導関数は、時間微分に対応するエネルギー演算子と E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}} 空間微分（ナブラ）に対応する運動量演算子を導く。 p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\hbar \nabla } ハット (^) は、観測量が演算子であることを示す。演算子は通常の数では表されず、運動量やエネルギーの演算子は微分演算子で表されるが、位置やポテンシャルエネルギーの演算子に関してはただの掛け算演算子になる。面白い点は、エネルギーは時間に関して対称性で、運動量は空間に関して対称性であり、そしてそれらの対称性はエネルギーと運動量の保存則が成り立つ理由である。ネーターの定理を参照。 エネルギー方程式に Ψ を掛け、エネルギー・運動量演算子を置換する。 E = p ⋅ p 2 m + V ( r ) → E ^ Ψ ( r , t ) = p ^ ⋅ p ^ 2 m Ψ ( r , t ) + V ( r ) Ψ ( r , t ) {\displaystyle E={\dfrac {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}}{2m}}+V({\boldsymbol {r}})\rightarrow {\hat {E}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {{\hat {\boldsymbol {p}}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}}{2m}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)+V({\boldsymbol {r}})\Psi ({\boldsymbol {r}},t)} すぐにシュレーディンガーに彼の方程式を導く。 i ℏ ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) + V ( r ) Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)+V({\boldsymbol {r}})\Psi ({\boldsymbol {r}},t)} これらの方程式から、粒子と波の二重性について次のような評価が与えられる。運動エネルギーT は運動量p の二乗に関係する。粒子の運動量が増えれば、運動エネルギーはより早く増加する。しかし波数k が増加するため、波長 λ が減少する。 p ⋅ p ∝ k ⋅ k ∝ T ∝ 1 λ 2 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}\propto {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {k}}\propto T\propto {\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}} そして運動エネルギーは二次空間微分に比例するから、波の曲率の強さにも比例する。 T ^ = − ℏ 2 2 m ∇ ⋅ ∇ ∝ ∇ 2 . {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \nabla \propto \nabla ^{2}\,.} 曲率が増えるごとに、波の振幅はより速く交互に正負を動き、波長を短くする。運動量と波長の逆比例の関係は粒子の持つエネルギーに整合し、すべての数式で、粒子のエネルギーは波と結び付けられる。
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