二次空間とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

二次形式

(二次空間から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/13 08:02 UTC 版)

数学における二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2 個の二次形式は

^ 相異なる変数同士の積の係数を偶とする（二元の場合は $b$ ではなく $2 b$ , 三元の場合は $c, d, e$ のところを $2 c, 2 d, 2 e$ と書く）規約を設けることもあり、これはガウスにまで遡れる。
^ 標数が 2 でない、つまり 2 がその環の中で可逆ならば、二次形式は（極化恒等式により）対称双線型形式に同値である。しかし、標数が 2 の場合は、これらは異なる概念である。この違いは、とくに代数的整数上の二次形式に対して重要である。
^ 弱い意味での不等号（ $\geq$ や $\leq$ ）の意味で一定の符号をもつならば二次形式 $q$ は半定値（半正定値または半負定値）であるという

「二次形式」の続きの解説一覧

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/05 06:49 UTC 版)

「二次形式」の記事における「二次空間」の解説

K 上の n-変数二次形式 q は n-次元座標空間 Kn から K への写像 Q ( v ) = q ( v ) , v = t ( v 1 , … , v n ) ∈ K n {\displaystyle Q(v)=q(v),\quad v={}^{t}(v_{1},\ldots ,v_{n})\in K^{n}} を定める。写像 Q は以下の性質を満たすという意味で二次写像 (quadratic map) である。 Q ( a v ) = a 2 Q ( v ) for all a ∈ K , v ∈ V . {\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v)\quad {\text{ for all }}a\in K,v\in V.} 次で定まる写像 BQ: V × V → K B q ( v , w ) = 1 2 ( Q ( v + w ) − Q ( v ) − Q ( w ) ) {\displaystyle B_{q}(v,w)={\frac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))} は K 上の双線型形式である。 K 上有限次元のベクトル空間 V と V から K への二次写像 Q の組 (V,Q) は二次空間 (quadratic space) と呼ばれ、BQ は Q に付随する双線型形式と呼ばれる。二次空間の概念は、二次形式の座標を用いない形での表現 (coordinate-free version) であると理解することができる。しばしば Q のことも二次形式と呼ぶ。ふたつの n-次元二次空間 (V,Q), (V′, Q′) が互いに等距同型 (isometric) であるとは、正則線型変換 T: V → V′ で Q ( v ) = Q ′ ( T v ) for all v ∈ V {\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V} を満たすという意味で距離を保つものが存在するときに言う。K 上の n-次元二次形式の等距同型類は K 上の n-元二次形式の同値類に対応するものである。

※この「二次空間」の解説は、「二次形式」の解説の一部です。
「二次空間」を含む「二次形式」の記事については、「二次形式」の概要を参照ください。

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