結合エントロピー （けつごうエントロピー、英 : joint entropy ）とは、情報理論 における情報量 の一種。結合エントロピーは、2つの確率変数 の結合した系でのエントロピー を表す。確率変数
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
H
(
X
,
Y
)
{\displaystyle H(X,Y)}
単位 は対数 の底によってビット (bit)、ナット (nat)、ディット (dit) が使われる。
背景 確率変数
X
{\displaystyle X}
H
(
X
)
{\displaystyle H(X)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
p
x
{\displaystyle p_{x}}
X
{\displaystyle X}
H
(
X
)
=
−
∑
x
p
x
log
2
(
p
x
)
{\displaystyle H(X)=-\sum _{x}p_{x}\log _{2}(p_{x})\!}
もう1つの確率変数
Y
{\displaystyle Y}
y
{\displaystyle y}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
Y
{\displaystyle Y}
H
(
Y
)
{\displaystyle H(Y)}
ここで、
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
H
(
X
)
+
H
(
Y
)
{\displaystyle H(X)+H(Y)}
整数 を1つ選ぶとし、それぞれの整数が選ばれる確率が同じとする。
X
{\displaystyle X}
奇数 かどうかを表し、
Y
{\displaystyle Y}
素数 かどうかを表すとする。1から8の整数のうち半分は偶数であり、同じく半分は素数である。したがって
H
(
X
)
=
H
(
Y
)
=
1
{\displaystyle H(X)=H(Y)=1}
定義 ここで、考えられる結果の「対」
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
それぞれの対の発生確率を
p
x
,
y
{\displaystyle p_{x,y}\quad }
H
(
X
,
Y
)
=
−
∑
x
,
y
p
x
,
y
log
2
(
p
x
,
y
)
{\displaystyle H(X,Y)=-\sum _{x,y}p_{x,y}\log _{2}(p_{x,y})\!}
上記の例では、1を素数と見なしていない。従って、結合確率分布は次のようになる。
P
(
even
,
prime
)
=
P
(
odd
,
not prime
)
=
1
/
8
{\displaystyle P({\text{even}},{\text{prime}})=P({\text{odd}},{\text{not prime}})=1/8}
P
(
even
,
not prime
)
=
P
(
odd
,
prime
)
=
3
/
8
{\displaystyle P({\text{even}},{\text{not prime}})=P({\text{odd}},{\text{prime}})=3/8}
以上から、結合エントロピーは次のようになる。
−
2
1
8
log
2
(
1
/
8
)
−
2
3
8
log
2
(
3
/
8
)
≈
1.8
bits
{\displaystyle -2{\frac {1}{8}}\log _{2}(1/8)-2{\frac {3}{8}}\log _{2}(3/8)\approx 1.8~{\text{bits}}}
特性 部分エントロピーよりも大きい 結合エントロピーは、常に元の系のエントロピー以上となる。新たな系を追加しても不確かさが減ることはない。
H
(
X
,
Y
)
≥
H
(
X
)
{\displaystyle H(X,Y)\geq H(X)}
この不等式が等式になるのは、
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
関数 になっている場合だけである。
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
関数 であるとき、以下も成り立つ。
H
(
X
)
≥
H
(
Y
)
{\displaystyle H(X)\geq H(Y)}
劣加法性 2つの系をまとめて考えたとき、それぞれの系のエントロピーの総和より大きなエントロピーには決してならない。これは劣加法性 (subadditivity) の一例である。
H
(
X
,
Y
)
≤
H
(
X
)
+
H
(
Y
)
{\displaystyle H(X,Y)\leq H(X)+H(Y)}
この不等式が等式になるのは、
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
確率論的独立性 がある場合だけである。
限界 他のエントロピーと同様、常に
H
(
X
,
Y
)
≥
0
{\displaystyle H(X,Y)\geq 0}
他のエントロピー尺度との関係 結合エントロピーは、次のように条件付きエントロピー の定義に使われる。
H
(
X
|
Y
)
=
H
(
X
,
Y
)
−
H
(
Y
)
{\displaystyle H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y)\,}
また、次のように相互情報量 の定義にも使われる。
I
(
X
;
Y
)
=
H
(
X
)
+
H
(
Y
)
−
H
(
X
,
Y
)
{\displaystyle I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\,}
参考文献 Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review . New York: Dover Publications. pp. 613-614. ISBN 0-486-41147-8 . 
