7角形

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七角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/02 03:43 UTC 版)

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正七角形

正方形に収めることができる最も大きな正七角形

七角形（しちかくけい、しちかっけい、ななかくけい、ななかっけい、英語: heptagon, septagon）とは、7個の頂点と7本の辺により構成される多角形の総称である。通常の（単純な）七角形の内角の総和は5πラジアン（900度）。凸七角形の対角線の数は14本。

正七角形

正七角形（せい - 、英: regular heptagon）とは、各辺の長さが等しく、全ての内角の大きさも等しい七角形を指す。その一つの内角は5π/7ラジアン（128と4/7度）で、一つの外角と中心角はどちらも2π/7ラジアン（51と3/7度）である。一辺の長さをaとすると周長は7aであり、面積Aは以下のように表される。

${\displaystyle A\approx 3.63391a^{2},}$

正七角形の辺と対角線

正七角形には、全部で14本の対角線を引くことができるが、対角線の長さは2種類しかない。すなわち、2つ隣の頂点を結ぶ短い対角線bと、3つ隣の頂点を結ぶ長い対角線cである。7本の対角線bからなる図形と、7本の対角線cからなる図形は、どちらも七芒星と呼ばれるが、日本では前者の意匠は特に茅の輪（ちのわ）と呼ばれることがある。^[要出典]

上記の3つの長さは

${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{7}},~b=2R\sin {\frac {2\pi }{7}},~c=2R\sin {\frac {3\pi }{7}}}$

円と放物線を、交点が正七角形をなすように配置する例（2017年、松田康雄^[4]）。ルール次第ではこれを利用して正七角形を作図することもできる。

古くは紀元前にアルキメデス（前287 - 前212）がその著書『円に含まれる七角形について』（英題: On the Heptagon in the Circle）において円錐曲線の交わりを使って^{[要検証 – ノート]}正七角形を作図していたとみられるが、この本は現存しない。サービト・イブン・クッラ（826 - 901）などのイスラムの数学者が、アルキメデスの本に言及して、正七角形を作図しているという^[3]。

定規とコンパスに加えて任意の角の三等分ができる道具（角の三等分器、angle trisector）を用いるとき、正七角形は作図できる。それは次の式が根拠となっている。

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cdot \cos \left({\frac {\arctan {3{\sqrt {3}}}}{3}}\right)-1\right)}$

ネウシス作図の例。

その他、より汎用的なヒッピアスの円積曲線（英語版）を利用することや、角の七等分器を製作することによっても理論上は正確に作図できる。

近似的作図

近似的作図の例。赤い線分を、緑の線分の代用とする。

正七角形に非常に近い七角形を作図する方法がいくつか考案されている。これらはしばしば誤差があることを伏せて紹介される。

その他の事物

2011年現在、イギリスでは正七角形をした2種類（50ペンス（英語版）と20ペンス（英語版））の硬貨が流通している。ただし、これらの硬貨の辺は曲線的であり、厳密には七角形ではなく、ルーローの七角形である。また、ユーロ貨幣の20セント硬貨は円形であるが、正七角形の頂点に当たる部分に7つの溝を持つ。

2011年12月、タイで国王ラーマ9世の誕生日を祝い、世界初の七角形の切手が発売された^[5]。

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ Weisstein, Eric W. "Trigonometry Angles--Pi/7". mathworld.wolfram.com (英語).
2. ^ このことを、内角あるいは中心角が整数度にならないことと結び付けるのは、初学者にありがちな誤解である。
3. ^ ^{a b} デイヴィッド・A.コックス 著、梶原健 訳『ガロワ理論』 下、日本評論社、2008-2010。ISBN 978-4-535-78455-0。 「第10章 作図」
4. ^ 『数学セミナー』2017年7月号, pp.36-37. ただしこの記事が史上初であるかは不明。
5. ^ タイで七角形の切手発売（バンコク経済新聞）

関連項目

ウィキメディア・コモンズには、七角形に関連するカテゴリがあります。

ポータル 数学

• 定規とコンパスによる作図
• 七角形的三角形（英語版）

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Heptagon". mathworld.wolfram.com (英語).
• 正七角形が折り紙で"作図"できる理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】

表 話 編 歴 多角形
非古典的 (2辺以下)	一角形 二角形
辺の数: 3–10	三角形 正三角形 二等辺三角形 黄金三角形 不等辺三角形 直角三角形 直角二等辺三角形 ケプラー三角形 鋭角三角形 鈍角三角形 四角形 正方形 長方形 黄金長方形 菱形 平行四辺形 凧形 直角凧形 台形 等脚台形 直角台形 円に外接する台形 双心四角形 円に内接する四角形 円に外接する四角形 等対角線四角形（英語版） 直交対角線四角形 傍接四角形 凹四角形 五角形 正五角形 五等辺五角形（英語版） 円に内接する五角形 ロビンスの五角形（英語版） 円に外接する五角形 直角五角形 五等角五角形 凹五角形 六角形 正六角形 円に内接する六角形 円に外接する六角形 ルモワーヌ六角形 七角形 八角形 九角形 十角形
辺の数: 11–20	十一角形 十二角形 十三角形 十四角形 十五角形 十六角形 十七角形 十八角形 十九角形 二十角形
辺の数: 21–30	二十一角形 二十二角形 二十三角形 二十四角形 二十五角形 二十六角形 二十七角形 二十八角形 二十九角形 三十角形
辺の数: 31–40	三十一角形 三十二角形 三十三角形 三十四角形 三十五角形 三十六角形 三十七角形 三十八角形 三十九角形 四十角形
辺の数: 41–50	四十一角形 四十二角形 四十三角形 四十四角形 四十五角形 四十六角形 四十七角形 四十八角形 四十九角形 五十角形
辺の数: 51–70 （抜粋）	五十一角形 五十二角形 五十四角形 五十六角形 五十七角形 六十角形 六十三角形 六十四角形 六十五角形 六十八角形 七十角形
辺の数: 71–100 （抜粋）	七十二角形 七十三角形 七十八角形 八十角形 八十一角形 八十四角形 八十五角形 九十角形 九十六角形 九十七角形 百角形
辺の数: 101– （抜粋）	102角形 108角形 109角形 120角形 128角形 144角形 180角形 二百角形 240角形 255角形 256角形 257角形 三百角形 360角形 四百角形 五百角形 六百角形 七百角形（フランス語版） 720角形 八百角形（フランス語版） 九百角形（フランス語版） 千角形 万角形 65,537角形 1,000,000角形 4,294,967,295角形
無限	無限角形
星型多角形 （辺の数: 5–12）	五芒星 六芒星 七芒星 八芒星 九芒星 十芒星 十一芒星 十二芒星
多角形のクラス	正多角形 星型正多角形 凸多角形 凹多角形 単純多角形 等辺多角形（英語版） 等角多角形（英語版） 同辺図形（英語版） 同角図形（英語版） 円内接多角形 円外接多角形 非平面多角形（英語版） 非平面無限角形（英語版） 擬三角形（英語版） 擬多角形（中国語版）
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