09とは? わかりやすく解説

09

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/05/07 14:47 UTC 版)

09(ぜろきゅう、まるきゅう)




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0.999...

(09 から転送)

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数学における循環十進小数 "0.999…" は、 "1" と同じ


注釈

  1. ^ 例えば、最初の節 #代数的な証明 に挙げる「代数的証明」は「正しい」証明だが、その証明の正当性は後の節 #解析的な証明 に記す解析学的手法である極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「正しい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「間違った」証明となり得る。
  2. ^ a b cf. 同様な議論の二進法版も以下にある。Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
  3. ^ 統合の歴史的な過程は以下を参照:Griffiths and Hilton (p.xiv) in 1970。また、再び Pugh (p.10) in 2001。両方とも実際には公理的解析論よりもデデキント切断を好んでいる。切断の方法の教科書については以下を参照:Pugh p.17 or Rudin p.17. 論理的視点については Pugh p.10, Rudin p.ix, or Munkres p.30
  4. ^ Enderton (p.113) は以下の記述を与えている。『デデキント切断の背景にあるアイディアは、有理数、つまり x より小さいすべての有理数の無限集合を与えられることによって実数 x が名づけられるということである。循環論法を避けるため、この方法で得られる有理数の集合が特徴づけられなければならない。』
  5. ^ 超準的な数の完全な取り扱いはロビンソンの Non-standard Analysis を参照。
  6. ^ Berlekamp, Conway, and Guy (pp.79-80, 307-311) は 11/3 について議論しており、さらに 1/ω について触れている。0.111… のゲームはバールカンプのルールに直接に従っており、それは以下に述べられている。A. N. Walker (1999年). “Hackenstrings and the 0.999⋯ =1 FAQ”. 2006年6月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年6月29日閲覧。
  7. ^ Richman pp.398-400. Rudin (p.23) は第1章の最後の練習問題として、この代替構造(ただし実数上)を選んでいる。
  8. ^ Maor (p.60) および Mankiewicz (p.151) は前者の方法を振り返る。Mankiewicz はそれがカントールの仕事だとしているが、最初の出所は定かではない。Munkres (p.50) は後者の方法に言及している。

出典

  1. ^ NetCommons「実数のN 進小数展開の具体的表示について」『宮城教育大学紀要』第53巻、2019年1月31日、 150頁。
  2. ^ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
  3. ^ Euler p.170
  4. ^ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
  5. ^ 例えば、J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
  6. ^ この極限については例えば以下に従う: Rudin p.57, Theorem 3.20e。より直接的なアプローチについては、以下も参照:Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  7. ^ Davies p.175; Smith and Harrington p.115
  8. ^ Beals p.22; I. Stewart p.34
  9. ^ Bartle and Sherbert pp.60-62; Pedrick p.29; Sohrab p.46
  10. ^ Apostol pp.9, 11-12; Beals p.22; Rosenlicht p.27
  11. ^ Apostol p.12
  12. ^ Rudin pp.17-20, Richman p.399, or Enderton p.119。正確には、この3人はこの切断をそれぞれ 1*, 1, 1R と呼んでいる。3人ともそれを伝統的な 1 の定義と同一視している。Rudin と Enderton が『デデキント切断』と呼ぶものを Richman は『nonprincipal なデデキント切断』と呼ぶことに注意。
  13. ^ Richman p.399
  14. ^ a b J J O'Connor and E F Robertson (2005年10月). “History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert”. MacTutor History of Mathematics. 2006年8月30日閲覧。
  15. ^ Mathematics Magazine:Guidelines for Authors”. The Mathematical Association of America. 2006年8月23日閲覧。
  16. ^ Richman pp.398-399
  17. ^ Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p.386
  18. ^ Griffiths & Hilton pp.388, 393
  19. ^ Griffiths & Hilton p.395
  20. ^ Griffiths & Hilton pp.viii, 395
  21. ^ Gowers p.60
  22. ^ Lightstone pp.245-247
  23. ^ Katz & Katz 2010
  24. ^ Stewart 2009, p.175; the full discussion of 0.999… is spread through pp.172-175.
  25. ^ Benardete, José Amado (1964). Infinity: An essay in metaphysics. Clarendon Press. p. 279. https://books.google.com/?id=wMgtAAAAMAAJ 2011年11月27日閲覧。 
  26. ^ Richman pp.397-399
  27. ^ Gardiner p.98; Gowers p.60
  28. ^ a b Fjelstad p.11
  29. ^ Fjelstad pp.14-15
  30. ^ DeSua p.901
  31. ^ DeSua pp.902-903
  32. ^ Petkovšek p.408
  33. ^ Protter and Morrey p.503; Bartle and Sherbert p.61
  34. ^ Komornik and Loreti p.636
  35. ^ Kempner p.611; Petkovšek p.409
  36. ^ Petkovšek pp.410-411
  37. ^ Leavitt 1984 p.301
  38. ^ Lewittes pp.1-3; Leavitt 1967 pp.669, 673; Shrader-Frechette pp.96-98
  39. ^ Pugh p.97; Alligood, Sauer, and Yorke pp.150-152。Protter と Morrey (p.507) および Pedrick (p.29) はこの記述を練習問題として位置づけている。
  40. ^ Rudin p.50, Pugh p.98
  41. ^ Bunch, p.119; Tall and Schwarzenberger, p.6. 最後の提案は Burrell (p.28) による。すなわち、「おそらくすべての数の中で最も安心する数は 1 であろう。したがって、0.999…1 として扱うときにとりわけ不安を覚える。」
  42. ^ Tall and Schwarzenberger pp.6-7; Tall 2000 p.221
  43. ^ Tall and Schwarzenberger p.6; Tall 2000 p.221
  44. ^ Tall 2000 p.221
  45. ^ Tall 1976 pp.10-14
  46. ^ Pinto and Tall p.5, Edwards and Ward pp.416-417
  47. ^ Mazur pp.137-141
  48. ^ Dubinsky 他 261-262
  49. ^ Richman (p.396) が述べている。Hans de Vreught (1994年). “sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?”. 2006年6月29日閲覧。
  50. ^ Cecil Adams (2003年7月11日). “An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?”. The Straight Dope. The Chicago Reader. 2006年9月6日閲覧。
  51. ^ Blizzard Entertainment® Announces .999~ (Repeating) = 1”. Press Release. Blizzard Entertainment (2004年4月1日). 2006年9月3日閲覧。
  52. ^ Wallace p.51, Maor p.17
  53. ^ Tall 1976 pp.10-14
  54. ^ 例えば以下を参照。J.B. Conway's treatment of Möbius transformations, pp.47-57
  55. ^ Maor p.54
  56. ^ Munkres p.34, Exercise 1(c)
  57. ^ Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Thermal Physics (2e ed.). W. H. Freeman. p. 462. ISBN 0-7167-1088-9 
  58. ^ “[http ://msdn.microsoft.com/library/en-us/csspec/html/vclrfcsharpspec_4_1_6.asp Floating point types]”. MSDN C# Language Specification. 2006年8月29日閲覧。






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