連結性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/11 06:55 UTC 版)
多様体に対して微分同相写像群は通常連結でない。その component group は写像類群（英語版）と呼ばれる。次元 2 において、すなわち曲面に対して、写像類群は有限表示群であり、Dehn twists によって生成される (Dehn, Lickorish, Hatcher) [要出典]。マックス・デーン (Max Dehn) と Jakob Nielsen はそれは曲面の基本群の外部自己同型群（英語版）と同一視できることを証明した。 ウィリアム・サーストン (William Thurston) は写像類群の元を分類することによって 3 つのタイプにこの解析を細分した： 周期的微分同相写像に同値なもの； 単純閉曲線を不変のままにする微分同相写像に同値なもの； pseudo-Anosov diffeomorphisms に同値なもの。トーラス S1 × S1 = R2/Z2 の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間（英語版）のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した； この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。 M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分（英語版）は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた； サーストンによって完全に一般的に証明された。
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連結性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/11 22:51 UTC 版)
連結: 空間が連結とは、空でない開集合の非交和に表されないときに言う。連結であるための必要十分条件として、開かつ閉集合が空集合と全体集合以外にないことを挙げることができる。 局所連結: 空間が局所連結とは、各点が連結集合からなる基本近傍系を持つときに言う。 完全不連結: 空間が完全不連結とは、ひとつより多くの点を持つ連結部分集合を持たないときに言う。 弧状連結: 空間 X が弧状連結とは、X の任意の二点 x, y に対し、x から y へ結ぶ道—連続写像 p: [0, 1] → X で p(0) = x かつ p(1) = yを満たすもの—がとれるときに言う。弧状連結空間は常に連結である。 局所弧状連結: 空間が局所弧状連結（英語版）とは、その各点が弧状連結集合からなる基本近傍系を持つときに言う。局所弧状連結空間が連結となるための必要十分条件はそれが弧状連結であることである。 単連結: 空間 X が単連結とは、それが弧状連結であって、かつ任意の連続写像 f: S1 → X が定値写像にホモトピックであるときに言う。 局所単連結: 空間 X が局所単連結とは、X の各点 x が単連結な近傍からなる基本近傍系を持つときに言う。 半局所単連結: 空間 X が半局所単連結（英語版） (semi-locally simply connected) とは、各点が U 内の任意のループが X において可縮となる近傍 U からなる基本近傍系を持つときに言う。半局所単連結性は、局所単連結性よりも真に弱い条件で、普遍被覆の存在には必要な条件である。 可縮: 空間 X が可縮とは、X 上の恒等写像が定値写像に同相となるときに言う。可縮空間は常に単連結である。 Hyper-connected: 空間がhyperconnectedとは、交わりを持たない空でない開集合の対が存在しないときに言う。任意の hyper-connected 空間は連結である。 Ultra-connected: 空間がultraconnected（英語版）とは、交わりを持たない空でない閉集合の対が存在しないときに言う。任意の ultra-connected 空間は弧状連結である。 密着空間、自明位相: 空間が密着とは、その開集合が空集合と全体集合に限るときに言う。密着空間は「自明な位相を持つ」という。
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連結性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
詳細は「連結空間」を参照 連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , 3 ] {\displaystyle [0,1]\cup [2,3]} という位相空間は連結ではない。
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連結性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:22 UTC 版)
任意の位相体は連結であるか完全不連結であるかのいずれかであり、連結である位相体の標数は 0 である。つまり有限体である位相体は完全不連結となる。
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