局所連結性 vs 弱局所連結性 に関してもっと
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 06:12 UTC 版)
「局所連結空間」の記事における「局所連結性 vs 弱局所連結性 に関してもっと」の解説
定理 X を弱局所連結空間とする。すると X は局所連結である。 証明 開集合の成分が開であることを示せば十分である。U を X で開とし C を U の成分とする。x を C の元とする。すると x は U の元なので X の連結部分空間 A が存在して U に含まれ x のある近傍 V を含む。A は連結で x を含むから、A は C の部分集合でなければならない（x を含む成分）。したがって x の近傍 V は C の部分集合である。x は任意であったから、各 x ∈ C は C に含まれる近傍 V を持つことが示せた。これは C は U において開であることを示している。したがって X は局所連結である。 decreasing broom spaces のある無限和はある特定の点において弱局所連結であるがその点において局所連結でない空間の例である。
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