局所自明化による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/05 03:31 UTC 版)
「接続 (主束)」の記事における「局所自明化による定義」の解説
M の開集合 U 上で主束 P を自明化することは U 上で P の切断 s を選ぶことと同じである。P に接続形式 ω が与えられているとき、s によって ω を引き戻すことで g に値をとる U 上の1次微分形式 s*ω を定めることができる。この微分形式と自明化写像 U × G → P|U によって、P|U 上での ω を復元することができる。 また、U 上の任意の切断は、U から G への関数 g(x) によって s(x) g(x) と表すことができるが、この新たな切断による ω の引き戻しは ( s g ) ∗ ω = A d g − 1 ( s ∗ ω ) + g − 1 d g {\displaystyle (sg)^{*}\omega ={\rm {Ad}}_{g}^{-1}(s^{*}\omega )+g^{-1}dg} を満たしている。M の開被覆 (Ui)i 上で P の自明化が与えられていれば、Ui j = Ui ∩ Uj 上での自明化の差 gi j が定めるコサイクルによって P を復元することができる。さなり、このコサイクルに関して上記のような貼り合わせ条件を満たす g-値の1次微分形式の族 (ωi j)i jによって P 上の接続 ω を定めることができる。
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