比例粘性減衰
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「比例粘性減衰」の解説
式4.1のように一般的な減衰行列 C が運動方程式に存在する場合、正規モード行列によって M と K は対角化できるが、C も同時に対角化することはできない。そのため、不減衰自由振動で可能だったモード座標に変換しての非連成化が不可能となり、モード解析の利点を活かすことができなくなる。そこで、C が下記のような比例粘性減衰として与えられると仮定し、実際の振動解析が行われることも多い。 C = α M + β K {\displaystyle {\boldsymbol {C}}=\alpha {\boldsymbol {M}}+\beta {\boldsymbol {K}}} (4.8) ここで、α と β は定数で、比例減衰定数と呼ばれる。比例粘性減衰を有する系を比例粘性減衰系などと呼ぶ。比例粘性減衰が成り立つと仮定すれば減衰行列を対角化できる。 式4.8の形で与えられる比例粘性減衰は、特にレイリー減衰やレイリー型減衰と呼ばれる。αM のみで仮定されるものは質量比例型減衰、βK のみで仮定されるものは剛性比例型減衰などと呼ぶ。 実際の減衰が比例粘性減衰になっていることはまれであり、比例粘性減衰はあくまでも近似的なものである。しかし、比例粘性減衰の仮定を導入することで、不減衰系と同じ取り扱いが可能となり、モード解析の手法が適用可能になる。もし減衰が全体に分布しているような構造であれば、適当な比例減衰定数を設定すれば、実際の現象を実用問題ないレベルで再現できるという一定の妥当性もある。減衰は摩擦・材料減衰・流体粘性など様々な要因で起こるため、そもそも減衰の適切な定式化自体が難しいといった事情もある。式2.3のように速度の比例定数として与えられる一般の粘性減衰も、多種多様な発生機構によって減衰が起きるという実情に起因して厳密には成立しない。 式4.8を式4.1に代入した場合、 M x ¨ + ( α M + β K ) x ˙ + K x = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+(\alpha {\boldsymbol {M}}+\beta {\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {\dot {x}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {0}}} (4.9) という運動方程式になる。解を式3.2のように仮定して上式に代入し、整理すると、 { ( λ 2 + α λ ) M + ( β λ + 1 ) K } u = 0 {\displaystyle \{(\lambda ^{2}+\alpha \lambda ){\boldsymbol {M}}+(\beta \lambda +1){\boldsymbol {K}}\}{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}} (4.10) となる。さらに、 γ 2 = λ 2 + α λ β λ + 1 {\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {\lambda ^{2}+\alpha \lambda }{\beta \lambda +1}}} (4.11) とおけば、式4.10は ( γ 2 M + K ) u = 0 {\displaystyle (\gamma ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}} (4.12) となる。式4.12は、（複素指数関数や三角関数で解を仮定したときの）不減衰振動の固有値問題における λ を γ に置き換えただけの式になる。したがって、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有モードは、同一の質量行列と剛性行列を有する不減衰振動の固有モードと同じである。 一方、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有角振動数は、同一の質量行列と剛性行列の不減衰振動の固有角振動数よりも小さくなる。モード行列 U で減衰行列を対角化すると U ⊤ C U = ( α M 1 + β K 1 0 ⋯ 0 0 α M 2 + β K 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ α M n + β K n ) {\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\top }{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}\alpha M_{1}+\beta K_{1}&0&\cdots &0\\0&\alpha M_{2}+\beta K_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\alpha M_{n}+\beta K_{n}\end{pmatrix}}} (4.13) となる。この行列の成分 αMr + βKr (r = 1, 2, …, n) をモード減衰やモード減衰係数と呼び、 Cr などで表す。ここで、Mr はモード質量、Kr はモード剛性である。さらに、 C c , r = 2 M r K r {\displaystyle C_{c,r}=2{\sqrt {M_{r}K_{r}}}} (4.14) という量を導入して、これでモード減衰を割った量 ζ r = C r C c , r = α M r + β K r 2 M r K r {\displaystyle \zeta _{r}={\frac {C_{r}}{C_{c,r}}}={\frac {\alpha M_{r}+\beta K_{r}}{2{\sqrt {M_{r}K_{r}}}}}} (4.15) をモード減衰比と呼ぶ。多自由度系の減衰系では固有モードごとに減衰の効果が異なっており、モード減衰比が固有モードごとの減衰の効果の程度を表している。ζr ≥ 1 ならば過減衰の状態であり、その固有モードの振動は起こらない。ζr < 1 ならば減衰振動となり、その固有角振動数は ω d , r = ω r 1 − ζ r 2 {\displaystyle \omega _{d,r}=\omega _{r}{\sqrt {1-\zeta _{r}^{2}}}} (4.16) で与えられる。ωd,r を減衰固有角振動数と呼ぶ。以上のように、線形1自由度系の減衰振動の考え方が固有モードごとの振動にも当てはまる。正規座標へ変換を行い、モード減衰比と固有角振動数を用いて運動方程式を表すと、下記のように表現できる。 { q ¨ 1 + 2 ζ 1 ω 1 q ˙ 1 + ω 1 2 q 1 = 0 q ¨ 2 + 2 ζ 2 ω 2 q ˙ 2 + ω 2 2 q 2 = 0 ⋮ q ¨ n + 2 ζ r ω r q ˙ r + ω n 2 q n = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+2\zeta _{1}\omega _{1}{\dot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=0\\{\ddot {q}}_{2}+2\zeta _{2}\omega _{2}{\dot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}=0\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+2\zeta _{r}\omega _{r}{\dot {q}}_{r}+\omega _{n}^{2}q_{n}=0\\\end{cases}}} (4.17) ζr < 1 であれば、qr の一般解は積分定数を ar と br として、 q r = e − ζ r ω r t ( a r cos ω d , r t + b r sin ω d , r t ) {\displaystyle q_{r}=e^{-\zeta _{r}\omega _{r}t}(a_{r}\cos \omega _{d,r}t+b_{r}\sin \omega _{d,r}t)} (4.18) となる。物理座標 x へ逆変換すれば、比例粘性減衰系の自由振動の一般解は下記のようになる。 x = ∑ r = 1 n u ¯ r e − ζ r ω r t ( a r cos ω d , r t + b r sin ω d , r t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}e^{-\zeta _{r}\omega _{r}t}(a_{r}\cos \omega _{d,r}t+b_{r}\sin \omega _{d,r}t)} (4.19)
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