比例粘性減衰系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「比例粘性減衰系」の解説
系が比例粘性減衰系であれば、励振力を受ける場合でもモード座標変換によって独立した1自由度系に分解でき、大自由度の問題も扱いが容易になる。一般の運動方程式2.1に、レイリー減衰の式4.8およびモード座標への変換式3.21を代入する。左から転置した質量正規固有モードの正規モード行列 Ū⊤ を掛けて対角化する。さらに、2ζrωr = α + βωr2 という関係を用いれば、運動方程式は下記のような独立・非連成の n 個の方程式に帰着する。 { q ¨ 1 + 2 ζ 1 ω 1 q ˙ 1 + ω 1 2 q 1 = u ¯ 1 ⊤ f q ¨ 2 + 2 ζ 2 ω 2 q ˙ 2 + ω 2 2 q 2 = u ¯ 2 ⊤ f ⋮ q ¨ n + 2 ζ n ω n q ˙ n + ω n 2 q n = u ¯ n ⊤ f {\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+2\zeta _{1}\omega _{1}{\dot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{1}^{\top }{\boldsymbol {f}}\\{\ddot {q}}_{2}+2\zeta _{2}\omega _{2}{\dot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{2}^{\top }{\boldsymbol {f}}\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+2\zeta _{n}\omega _{n}{\dot {q}}_{n}+\omega _{n}^{2}q_{n}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{n}^{\top }{\boldsymbol {f}}\\\end{cases}}} (5.10) 励振力 f が fa cosΩt で与えられるとする。線形1自由度系と同様の解法によって、正規座標 qr の強制振動の解が下記のように求まる。 q r = u ¯ r ⊤ f a ω r 2 { 1 − ( Ω ω r ) 2 } 2 + { 2 ζ r Ω ω r } 2 cos ( Ω t − ϕ r ) {\displaystyle q_{r}={\dfrac {{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {f_{a}}}}{\omega _{r}^{2}{\sqrt {\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}\right\}^{2}+\left\{2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}^{2}}}}}\cos({\mathit {\Omega }}t-\phi _{r})} (5.11) ϕ r = tan − 1 ( 2 ζ r ω r Ω ω r 2 − Ω 2 ) {\displaystyle \phi _{r}=\tan ^{-1}\left({\frac {2\zeta _{r}\omega _{r}{\mathit {\Omega }}}{\omega _{r}^{2}-{\mathit {\Omega }}^{2}}}\right)} (5.12) 解を複素数で表現した場合は、 q r = u ¯ r ⊤ f a ω r 2 { 1 − ( ω r Ω ) 2 + j 2 ζ r ω r Ω } e j Ω t {\displaystyle q_{r}={\dfrac {{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {f_{a}}}}{\omega _{r}^{2}\left\{1-\left({\dfrac {\omega _{r}}{\mathit {\Omega }}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\omega _{r}}{\mathit {\Omega }}}\right\}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}} (5.13) となり、物理座標の解は x = ∑ r = 1 n u ¯ r ⊤ f a u ¯ r ω r 2 { 1 − ( Ω ω r ) 2 + j 2 ζ r Ω ω r } e j Ω t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\boldsymbol {{\overline {u}}_{r}^{\top }f_{a}{\overline {u}}_{r}}}{\omega _{r}^{2}\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}} (5.14) となる。Ω/ωr は強制振動比などと呼ばれる。通常の固有モードの場合は次式となる。 x = ∑ r = 1 n u r ⊤ f a u r K r { 1 − ( Ω ω r ) 2 + j 2 ζ r Ω ω r } e j Ω t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\boldsymbol {u_{r}^{\top }f_{a}u_{r}}}{K_{r}\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}} (5.15)
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