解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:57 UTC 版)
平衡点 (equilibrium) 全ての入力を零としたときに、状態が変化しないような点。線形システムにおいては、原点または原点を含む線形空間である。 安定性 (stability) 状態が平衡点からわずかにずれたとき、再び平衡点に戻るような性質。 A {\displaystyle A} 行列の固有値の実部の符号により判別される。 可制御性 (controllability) 線形状態方程式で記述されたシステム又は(A,B)の対は可制御(controllable)であるとは，任意の初期状態 x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} ，時刻 t 1 > 0 {\displaystyle t_{1}>0} と最終的な状態 x 1 {\displaystyle x_{1}} に対して，システムの解が x ( t 1 ) = x 1 {\displaystyle x(t_{1})=x_{1}} を満たすような(区分的に連続(piecewise continuous)な)入力 u ( t ) {\displaystyle u(t)} が存在することである．また，それ以外では不可制御(uncontrollable)であるという． A {\displaystyle A} 行列と B {\displaystyle B} 行列によって生成される可制御行列 V = [ B , A B , … , A n − 1 B ] {\displaystyle V=\left[B,AB,\ldots ,A^{n-1}B\right]} の階数が行フルランクであれば良い．完全可制御である系は、元の系が不安定であっても状態フィードバックによって必ず安定化することができる。 可観測性 (observability) 線形状態方程式で記述されたシステム又は ( C , A ) {\displaystyle (C,A)} の対は可観測であるとは，任意の t 1 > 0 {\displaystyle t_{1}>0} に対して， [ 0 , t 1 ] {\displaystyle [0,t_{1}]} の区間での入力 u ( t ) {\displaystyle u(t)} と出力 y ( t ) {\displaystyle y(t)} の時間応答から，初期状態 x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} が決定できることである，それ以外の場合では，システム ( C , A ) {\displaystyle (C,A)} は不可観測であるという． A {\displaystyle A} 行列と C {\displaystyle C} 行列によって生成される可観測行列 N = [ C C A ⋮ C A n − 1 ] {\displaystyle N=\left[{\begin{matrix}C\\CA\\\vdots \\CA^{n-1}\end{matrix}}\right]} の階数が列フルランクであればよい．完全可観測である系は、観測器によって出力からその内部状態を推定することが可能である。 正準形 (canonical form) 線形システムは、座標変換によって元の系と全く同じ挙動を持つ系に変換することができる。そこで与えられた系を正準形と呼ばれる特定の形に座標変換して共通の性質を探ることがある。ジョルダン標準形や Luenberger の可制御正準形 d d t x = [ 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 − a 0 − a 1 ⋯ − a n − 1 ] x + [ 0 ⋮ 0 1 ] u {\displaystyle {\frac {d}{dt}}x=\left[{\begin{matrix}0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\\-a_{0}&-a_{1}&\cdots &-a_{n-1}\end{matrix}}\right]x+\left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\\1\end{matrix}}\right]u} などがある。ここで a i ( i = 0 , … , n − 1 ) {\displaystyle a_{i}\ (i=0,\ldots ,n-1)} はこの系の特性多項式の i {\displaystyle i} 次項の係数となっている。 観測器 (observer) 制御入力と出力から内部状態を推定するシステム システム同定 (system identification) システムの入力と出力からシステム内部のパラメータを求めること。モデルを記述するパラメータが既知であることを前提とする現代制御論においては、非常に重要なプロセスである。
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解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:31 UTC 版)
小ゲイン定理 (small gain theorem) 閉ループ系の構成要素となる各ブロックの積の H∞ノルムが 1 未満であれば、閉ループ系は安定であるという定理。 混合感度問題 (mixed sensitivity problem) 正規化既約分解 (normalized coprime factorization)
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解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/13 00:15 UTC 版)
平衡点 (equilibrium, equilibria)、平衡多様体 (equiliburium manifold) f ( x , 0 ) = 0 {\displaystyle f(x,0)=0} または f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} を満たす x {\displaystyle x} の集合。点の場合は平衡点、多様体の場合は平衡多様体と呼ぶ。また、非線形システムでは異なった複数平衡点が存在することがある。 局所性と大域性 (locality, globality) 線形システムは至る点で原点近傍と相似であるが、非線形システムの場合は一般的には相似でない。そのため、注目している点の近傍での議論（局所性 (locality)） と、全空間での議論（大域性 (globality)）を区別する必要がある。 安定性(stability) 線形システム論では安定性は一意であるが、非線形システムでは複数の異なる概念が多岐に渡って存在するため、安定論として一冊の本が書かれるくらいである。非線形システム論においてよく用いられる安定の概念にリアプノフ安定がある．リアプノフ関数を見つけることで判別できる。線形システムでは以下はいずれも等価である。安定性 (stability)：状態が有界の範囲に留まり、かつ初期値を平衡点に近づければ状態の上界も平衡点に近づく性質 漸近安定性 (asymptotical stability)：状態が時間が経てばやがて平衡点に収束する性質 指数安定性 (exponential stability)：漸近安定の収束の度合いが指数関数で押えられる性質 可到達性 (reachability) 平衡点にある状態を有限時間内で（平衡点近傍の）任意の点に移すような入力が存在する性質 可制御性 (controllability) 任意の初期状態から有限時間で平衡点に移す入力が存在する性質 相対次数 (relative degree) 出力 y {\displaystyle y} を繰り返し時間微分して、初めて入力 u {\displaystyle u} が出てくるまでの回数。これがシステムの次数 n {\displaystyle n} と一致するようなアフィン系は、可制御な線形システムと等価になる。例えば、 y ˙ = y ( 1 ) ⋮ y ˙ ( n − 1 ) = g ( x ) u {\displaystyle {\begin{matrix}{\dot {y}}&=&y^{(1)}\\\vdots \\{\dot {y}}^{(n-1)}&=&g(x)u\\\end{matrix}}} が成り立つとき、新しい座標を z i = y ( i − 1 ) {\displaystyle z_{i}=y^{(i-1)}} 、新しい入力を v = g ( x ) u {\displaystyle v=g(x)u} と定義すれば、線形可制御正準形 d d t [ z 1 z 2 ⋮ z n ] = [ 0 1 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] [ z 1 z 2 ⋮ z n ] + [ 0 ⋮ 0 1 ] v {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\begin{matrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&1&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\\1\end{matrix}}\right]v} が得られる。 ゼロダイナミクス (zero dynamics) 出力関数 h ( x ) {\displaystyle h(x)} をゼロに保つような入力を与えた時の内部状態の挙動。これが安定であるならば、出力零化制御を行なうだけで全体の安定化が達成できる。
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解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 09:17 UTC 版)
根（root）または零点 (zero)、極 (pole) 一般に多項式が零となるような方程式の解を根または零点と呼ぶ。古典制御論では、伝達関数の分子多項式の零点を指す。次に述べる特性多項式の零点を極と呼ぶ。 （例） 2 s + 1 s 2 + 3 s + 2 = 2 s + 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) {\displaystyle {\frac {2s+1}{s^{2}+3s+2}}={\frac {2s+1}{(s+1)(s+2)}}} の零点は − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 、極は − 1 , − 2 {\displaystyle -1,-2} となる。この場合、極の実部がともに負であるから、安定である。 特性多項式 (characteristic polynomial)、特性方程式 (characteristic equation) 伝達関数の分母多項式で、入出力応答を支配する。これを零とする方程式を特性方程式と呼び、その解を極と呼ぶ。極の実部の符号により安定性や収束性が、虚部によって振動特性などが判別できる。 （例） 2 s + 1 s 2 + 3 s + 2 {\displaystyle {\frac {2s+1}{s^{2}+3s+2}}} の特性多項式は s 2 + 3 s + 2 {\displaystyle s^{2}+3s+2} ラウス・フルビッツの安定判別法 (Routh–Hurwitz stability criterion) 特性方程式を解かずに、特性多項式の係数のみから安定性を判別する方法 閉ループ系 (closed loop system) 出力を引き戻し入力側で足し合わせて接続した系。足し合わせる際に、そのまま足したものを正帰還(positive feedback)、符号を変えて引いたものを負帰還(negative feedback)と呼ぶ。フィードバックも参照。 正帰還 負帰還 一巡伝達関数 (loop transfer function) 閉ループ系を構成する際、入力部分での接続を切り放したときの、入力から引き戻した部分までの伝達関数 （例） 下図のような負帰還の閉ループ系の場合、一巡伝達関数は G ( s ) K ( s ) {\displaystyle G(s)K(s)} となる。 ベクトル軌跡 (vector locus) 信号の周波数を変化させたときの伝達関数 G ( j ω ) {\displaystyle G(j\omega )} の複素数としての軌跡を複素平面に描いたもの ナイキスト (Nyquist) の安定判別法 一巡伝達関数のベクトル軌跡をナイキスト軌跡と呼び、その形状などから安定性を判別する方法 ゲイン余裕、位相余裕 (gain margin, phase margin) 系が不安定になるまでゲインや位相にどれくらい余裕があるかを定量的に見積もった指標。ナイキスト軌跡で議論できる。 根軌跡法 (root locus method) 閉ループゲインを変化させたときの閉ループ伝達関数の極（特性方程式の根）の軌跡を複素平面に描いたもの（根軌跡）によって安定性や挙動を調べる方法 ボード線図 (bode diagram、bode plot) 横軸に周波数（角周波数）、縦軸に伝達関数のゲイン | G ( j ω ) | {\displaystyle |G(j\omega )|} と位相遅れ ∠ G ( j ω ) {\displaystyle \angle G(j\omega )} を片対数グラフとして描いたもの。周波数領域での特性を評価するのに用いられる。 ニコルス線図 (Nichols chart)
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解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 13:48 UTC 版)
構造を解明するにあたり、太平洋戦争前は化学反応と合成反応を利用するほかなかった。一方、太平洋戦争後はさまざまな新しい物理化学的手法が登場した。上尾はそれぞれの手法によって得られる情報の質について吟味し、各手法のメリットを最大限享受できるように努め、より正確な結果を得ようとしていた。上尾の研究成果について、後年にX線解析が行われたところ、その結果と何ら矛盾するところはなく、疑義は生じなかったという。
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解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/18 06:37 UTC 版)
「フォン・ノイマンの安定性解析」の記事における「解析手法」の解説
フォン・ノイマンの安定性解析は誤差のフーリエ分解に基づいている。ここでは1次元の熱伝導方程式： ∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} をFTCS法（英語版）を用い離散化した次の式の安定性を考える。 u j n + 1 = u j n + r ( u j + 1 n − 2 u j n + u j − 1 n ) {\displaystyle u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)} ・・・(1) ただしr は拡散数 r = α Δ t Δ x 2 {\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}} で、区間の長さをL とする。差分方程式の解 u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} は格子上で偏微分方程式の解析解 u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} を近似する。 丸め誤差 ϵ j n {\displaystyle \epsilon _{j}^{n}} を ϵ j n = N j n − u j n {\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}} と定義する。ただし u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} は差分方程式(1)を丸め誤差なしで計算したときの解で、 N j n {\displaystyle N_{j}^{n}} は有限精度計算で得られた数値解である。厳密解 u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} は差分方程式を厳密に満たすから、誤差 ϵ j n {\displaystyle \epsilon _{j}^{n}} もまた差分方程式を厳密に満たす。したがって誤差は次の漸化式を満たす。 ϵ j n + 1 = ϵ j n + r ( ϵ j + 1 n − 2 ϵ j n + ϵ j − 1 n ) {\displaystyle \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)} ・・・(2) 式(1), (2)は、誤差と数値解の両方が時間ステップに応じて同じように成長または減衰することを示す。周期境界条件を持つ線形微分方程式に対し、誤差の空間的変動は区間L で次のようにフーリエ級数に展開できる： ϵ ( x ) = ∑ m = 1 M A m e i k m x {\displaystyle \epsilon (x)=\sum _{m=1}^{M}A_{m}e^{ik_{m}x}} ここで k m = π m L {\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}} ：波数 M = L / Δ x {\displaystyle M=L/\Delta x} ：分割数 である。誤差の時間依存性は誤差の振幅 A m {\displaystyle A_{m}} が時間ステップの関数である仮定することによって考慮されている。誤差の成長・減衰は指数関数的になる傾向があるので、振幅が時間とともに指数関数的に変化すると仮定するのは妥当である。ゆえに ϵ ( x , t ) = ∑ m = 1 M e a t e i k m x {\displaystyle \epsilon (x,t)=\sum _{m=1}^{M}e^{at}e^{ik_{m}x}} と仮定する。ただしa は定数である。 誤差が従う差分方程式は線形なので（級数の各項の挙動は級数自体と同じである）、次の典型的な項の誤差の成長を考察すれば十分である： ϵ m ( x , t ) = e a t e i k m x {\displaystyle \epsilon _{m}(x,t)=e^{at}e^{ik_{m}x}} ・・・(3) 誤差に対するこの形式を使用して安定特性を調べても一般性を失わない。誤差が時間ステップを進めるごとにどのように変化するかを調べるため、式(3)を(2)に代入し整理すると e a Δ t = 1 + r ( e i k m Δ x + e − i k m Δ x − 2 ) = 1 − 4 r sin 2 k m Δ x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{a\Delta t}&=1+r\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right)\\&=1-4r\sin ^{2}{\frac {k_{m}\Delta x}{2}}\end{aligned}}} ・・・(4) を得る。 振幅係数G を G ≡ ϵ j n + 1 ϵ j n = e a Δ t {\displaystyle G\equiv {\frac {\epsilon _{j}^{n+1}}{\epsilon _{j}^{n}}}=e^{a\Delta t}} ・・・(5) と定義する。誤差が有界であるための必要十分条件は | G | ≤ 1 {\displaystyle \vert G\vert \leq 1} である。したがって式(4), (5)より、安定性の条件は | 1 − 4 r sin 2 k m Δ x 2 | ≤ 1 {\displaystyle \left\vert 1-4r\sin ^{2}{\frac {k_{m}\Delta x}{2}}\right\vert \leq 1} と与えられる。この条件が任意の k m {\displaystyle k_{m}} について成り立たなければならないから、 r = α Δ t Δ x 2 ≤ 1 2 {\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}} ・・・(6) を得る。式(6)は1次元熱伝導方程式をFTCS法で解くときの、安定性の必要条件を与える。与えられた空間ステップ幅 Δ x {\displaystyle \Delta x} に対して、時間ステップ幅 Δ t {\displaystyle \Delta t} は式(6)を満たすように十分に小さく取らなければならないことが分かる。
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解析手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/14 09:30 UTC 版)
人類の活動の影響量、および将来の温暖化の影響に関する予測は、超長期を対象として地球全体の大気や水の状態を計算する必要があり、膨大な計算量を必要とする。
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