収束性
極限
収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/15 02:39 UTC 版)
出発値を一定の誤差以内に選べば m {\displaystyle m} 次の安定な線形多段法は m {\displaystyle m} 次収束することが知られている（ただし m {\displaystyle m} 次のルンゲ＝クッタ法は出発値に関係なく m {\displaystyle m} 次収束する）。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/18 03:25 UTC 版)
ルンゲ＝クッタ法は、数値積分における求積法 (quadrature) と深く繋がる。時刻 tn での値から tn+1 = tn + h での値を求めるときの方程式は以下のように定める。 y ′ = f ( t , y ) , y ( t n ) = y n . {\displaystyle y'=f(t,y),\;y(t_{n})=y_{n}.} 求積法は、与えられた区間での定積分の値を被積分関数の値の線型結合として近似する方法である。簡単のために、区間を [0, 1] とする。よって求積法の公式は ∫ 0 1 f ( t ) d t ≈ ∑ i = 1 s b i f ( c i ) {\displaystyle \int _{0}^{1}f(t)dt\approx \sum _{i=1}^{s}b_{i}f(c_{i})} となる。ここで、bi と ci は先に選ばれた定数であり、前述の重みと節点に対応する。上記式に対し、等式がすべての p − 1 次以下の多項式に成立するとき（すなわち、誤差が0のとき）、その求積法は p 次精度であり、p を次数と呼ぶ。節点が s 個の時、最大次数は 2s であり、その方法は s 次ガウス・ルジャンドル公式と呼ばれる。 そして上記の方程式を積分形式に変形し、求積法を用いると次の公式となる。 y ( t n + 1 ) = y n + ∫ y n y n + 1 f ( t , y ( t ) ) d t = y n + h ∫ 0 1 y ( t n + h τ , y ( t n + h τ ) ) d τ = y n + h ∑ i = 1 s b i f ( t n + c i h , y ( t n + c i h ) ) {\displaystyle y(t_{n+1})=y_{n}+\int _{y_{n}}^{y_{n+1}}f(t,y(t))dt=y_{n}+h\int _{0}^{1}y(t_{n}+h\tau ,y(t_{n}+h\tau ))d\tau =y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}f(t_{n}+c_{i}h,y(t_{n}+c_{i}h))} k i = f ( t n + c i h , y ( t n + c i h ) ) {\displaystyle k_{i}=f(t_{n}+c_{i}h,y(t_{n}+c_{i}h))} とおく。ki, あるいは y(tn + ci h) を適切に（線型結合として）近似することでルンゲ＝クッタ法の公式となる。その上、係数をテイラー展開より正しく選択すると、方法の収束性も求積法の収束性より保証される。しかし、局所誤差のオーダーや上界は、方法によって大きく異なるので、方法別に計算しなければならない。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/03 16:17 UTC 版)
一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も a の値（必要ならば u0 – r の符号も）によって決定することができる（a ≠ 1 のとき r = b/(1 – a) と置いたことに注意）。 |a| < 1 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと r である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 07:31 UTC 版)
ガウス＝ザイデル法は、係数行列が正定値対称ならば収束する。 また、係数行列の各行で非対角要素の絶対値の和が対角要素の絶対値よりも小さい場合： | a i i | > ∑ i ≠ j | a i j | . {\displaystyle \left|a_{ii}\right|>\sum _{i\neq j}{\left|a_{ij}\right|}.} すなわち対角優位な行列ならば収束する（これはヤコビ法も同様である）。 係数行列が正定値対称ならばガウス＝ザイデル法が収束することを利用して、 A x → = b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} を解く代わりに、同値である A T A x → = A T b → {\displaystyle A^{T}A{\vec {x}}=A^{T}{\vec {b}}} を解く方法が考えられる。この方法は x → {\displaystyle {\vec {x}}} の第i行要素 x i {\displaystyle x_{i}} を更新するごとに確実に残差が減少する反面、条件数がもとの行列 A {\displaystyle A} の条件数の二乗になるため収束は遅くなる傾向となる。 上記のように A x → = b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} の代わりに A T A x → = A T b → {\displaystyle A^{T}A{\vec {x}}=A^{T}{\vec {b}}} を解く方法は非対称、非正定値行列を共役勾配法で解く際のテクニックにも利用される。しかしながらCG法においても条件数が増加することにより収束性は悪化する。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 16:33 UTC 版)
収束の形式的な定義は以下のように述べることができる。(pn)0≤n<∞ を p に収束し、任意の n について pn ≠ 0 なる数列とする。正の定数 λ と α で lim n → ∞ | p n + 1 − p | | p n − p | α = λ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|{p}_{n+1}-p|}{|{p}_{n}-p|^{\alpha }}}=\lambda } を満たすものが存在するならば、(pn)0≤n<∞ は p に α のオーダーで、漸近誤差定数 λ で収束する。 函数 f(x) = x の不動点 p の収束性の判定に有用なリストが存在する。 最初に f(p) = p であることを調べる。 一次収束について確認する。まず |f′(p)| を求めて、0 < |f′(p)| ≤ 1 ならば 一次収束する。 1 < |f′(p)| ならば発散する。 0 = |f′(p)| ならば少なくとも一次収束するがもっとよいオーダーかもしれないので二次収束について確認する。 二次収束について確認する。まず |f′′(p)| を求めて、|f′′(p)| ≠ 0 ならば、二次収束し f′′(p) は連続である。 |f′′(p)| = 0 ならば、二次収束よりもさらに何かよい収束性を示す。 |f′′(p)| が存在しないならば、一次収束よりはよいが二次までは行かない収束をする。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/17 06:44 UTC 版)
この節では、1個以上のパラメータが負の整数である場合は考えないことにする。そのような場合、超幾何関数は定義されないか、または多項式に退化するために連分数展開が有限回で止まるからである。その他の自明な状況も排除するものとする。 0 F 1 {\displaystyle {}_{0}F_{1}} と 1 F 1 {\displaystyle {}_{1}F_{1}} の場合、級数は任意の点で収束し、左辺の分数関数は有理型関数になる。右辺の連分数は極を含まない任意の閉で有界な集合上一様に収束する。 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} の場合、展開の収束半径は 1 で、左辺の関数はこの円板の内部で有理型関数を表す。右辺の連分数はこの円板内部の任意の点で収束する。 円板の外部では、連分数は +1 から無限遠点までを除いた実軸に沿って解析接続された関数を表す。+1 が分岐点、+1から無限遠点への実軸上の半直線が分岐截線とされることが多い。右辺の連分数はこの領域で有理型関数へ収束し、また極を含まない任意の有界閉集合上で収束は一様である。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/21 15:59 UTC 版)
反復行列の固有値を λ {\displaystyle \lambda } とすると、 max | λ | ≥ | ω − 1 | ∀ ω {\displaystyle \max |\lambda |\geq |\omega -1|\quad \forall \omega } が成立することから、少なくとも 0 < ω < 2 {\displaystyle 0<\omega <2} でなければSOR法の収束性は保証されない。 さらに、正定値対称行列 A {\displaystyle A} を係数にもつ方程式 A x = b {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}} に対するSOR法は、加速パラメータ ω {\displaystyle \omega } が 0 < ω < 2 {\displaystyle 0<\omega <2} のとき必ず収束する（Ostrowskiの定理）。 また、 ω = 1 {\displaystyle \omega =1} のときガウス＝ザイデル法と同じになり、 ω {\displaystyle \omega } が1より小さいときガウス＝ザイデル法より収束が遅くなる。ただし、ガウス＝ザイデル法で収束しないような問題には使える。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/13 02:53 UTC 版)
「ガウス・ニュートン法」の記事における「収束性」の解説
増分ΔがS の減少方向を向いていることは証明されている。もしこのアルゴリズムが収束すれば、その極限はS の停留点である。しかし収束については、ニュートン法では保証されている局所収束さえも保証されていない。 ガウス・ニュートン法の収束の速さ（英語版）は2次である。もし初期推測値が最小値から遠いか、または行列JrT Jr が悪条件であれば収束は遅いか、全くしなくなる。例えば、m = 2本の方程式とn = 1個の変数のある次の問題を考える： r 1 ( β ) = β + 1 r 2 ( β ) = λ β 2 + β − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}(\beta )&=\beta +1\\r_{2}(\beta )&=\lambda \beta ^{2}+\beta -1.\end{aligned}}} この問題の最適値はβ = 0 である。もしλ = 0 なら実質的に線形問題であり、最適値は一回の計算で見つかる。もし|λ| < 1 なら、この手法は線形に収束し残差は係数|λ|で反復ごとに漸近的に減少する。しかし|λ|> 1 なら、この方法はもはや局所的にも収束しない。
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収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 18:57 UTC 版)
級数 1 の収束は冪指数 α と変数 x の値に依存する。より具体的に、 |x| < 1 ならば、任意の α に対して絶対収束する。 x=−1 ならば、絶対収束する必要十分条件は Re(α)> 0 または α = 0 の何れかが成り立つことである。 |x| = 1 かつ x ≠ −1 ならば、収束の必要十分条件は Re(α) > −1 なることである。 |x| > 1 のときには、α が非負整数（級数が有限和となる）場合を除けば、発散する。 いま α は非負整数ではないとし、|x| = 1 の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える: Re(α) > 0 ならば絶対収束する。 −1 < Re(α) ≦ 0 ならば、x ≠ −1 では条件収束し、x = −1 では発散する。 Re(α) ≦ −1 ならば発散する。 二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板 |x| < 1 内で項別微分して式 1 を用いれば、この級数の和が常微分方程式 (1 + x)u′(x) = αu(x) を初期値 u(0) = 1 のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解は u(x) = (1 + x)α であり、それはつまり（少なくとも |x| < 1 において）二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を |x| = 1 にまで延長できることは、アーベルの連続性定理を (1 + x)α の連続性に基づいて適用した帰結である。
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「収束性」の例文・使い方・用例・文例
- 収束性の斜視があるさま
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