解析解とは?

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微分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2014/11/01 07:17 UTC 版)

(解析解 から転送)

微分方程式(びぶんほうていしき、differential equation)とは未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である[1]


  1. ^ この微分方程式の解として指数関数を定義する場合もある。その場合、y(0) = 1 となる解 y(x) を指数関数 exp(x) (≡ ex) とする。
  2. ^ この関係を示す際に、ラフな計算法として dy, dx を微小な数として扱うことがある。つまり、
    \scriptstyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y
    の両辺に dx/y を掛けて、
    \scriptstyle \frac{\mathrm{d}y}{y} = \mathrm{d}x
    とし、最後に積分記号 を添える。
  3. ^ 対数関数が指数関数の逆関数であることを利用する。exp(ln y) = y.
  4. ^ 解法: 一つの方法は次の自然対数の積分公式を利用する方法である。

    \scriptstyle \int \frac{\mathrm{d}x'}{x'} = \ln|x| + \mathrm{constant}.

    ある xy0 となるなら、

    \scriptstyle \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = 0

    方程式を満たす解 y0 である。次に y0 とならない解を探すと、 方程式は次のように変形できる。

    \scriptstyle \frac{1}{y(x)}\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = 1.

    両辺を積分すれば、右辺は最初に示した積分と同じ形になる[注 2]

    \scriptstyle \int \frac{1}{y'}\,\mathrm{d}y' = \int 1\,\mathrm{d}x'.

    両辺の積分を計算すると方程式の解は指数関数になることが分かる[注 3]

    \scriptstyle y(x) = \mathrm{constant}\times \exp(x).

    その他の解法としては結局、指数関数か対数関数の定義に帰着させることになる。

  5. ^ 非自明な解を探しているので、任意の λ に対して f(x) = Cexp(λx) ≠ 0 である。従って、
    \scriptstyle \left(\sum_{k=0}^n c_{k+1}\lambda^k\right)C\exp(\lambda x) = 0
    を満たす λ はすべて
    \scriptstyle \sum_{k=0}^n c_{k+1}\lambda^k = 0
    を満たす。
  6. ^ 解の形として f(x) = C(x)exp(λx) というものを仮定しても一般性は損なわれない。
  7. ^ a ≠ 0b ≠ 0 および αβ ≠ 0 は定数で、C1, C2積分定数
  1. ^ a b c d e 長倉三郎ほか編、『岩波理化学辞典』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6
  2. ^ a b 長島隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6 (4773372826)
  3. ^ 長島 隆廣[常微分方程式134例とその解]丸善出版サービスセンター,1982年5月発行,国立国会図書館・請求記号 MA117-111,全国書誌番号 82049441


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