かいせき‐かい【解析解】
読み方：かいせきかい
⇒厳密解
微分方程式
(解析解 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/22 01:54 UTC 版)
解析学において、
注釈
- ^ 英: order
- ^ 英: nth order differential equation
- ^ 英: non-linear differential equation
- ^ 英: homogeneous linear differential equation
- ^ 英: inhomogeneous linear differential equation
- ^ 英: stochastic differential equation、SDE
- ^ この微分方程式の解として指数関数を定義する場合もある。その場合、y(0) = 1 となる解 y(x) を指数関数 exp(x) (≡ ex) とする。
- ^ この関係を示す際に、ラフな計算法として dy, dx を微小な数として扱うことがある。つまり、
- ^ 対数関数が指数関数の逆関数であることを利用する。exp(ln y) = y.
- ^ 解法： 一つの方法は次の自然対数の積分公式を利用する方法である。
ある x で y が 0 となるなら、
方程式を満たす解 y は 0 である。次に y が 0 とならない解を探すと、 方程式は次のように変形できる。
両辺を積分すれば、右辺は最初に示した積分と同じ形になる[注釈 8]。
両辺の積分を計算すると方程式の解は指数関数になることが分かる[注釈 9]。
その他の解法としては結局、指数関数か対数関数の定義に帰着させることになる。
- ^ 非自明な解を探しているので、任意の λ に対して f(x) = Cexp(λx) ≠ 0 である。従って、
- ^ 解の形として f(x) = C(x)exp(λx) というものを仮定しても一般性は損なわれない。
- ^ a ≠ 0 と b ≠ 0 および α と β ≠ 0 は定数で、C1, C2 は積分定数。
出典
- ^ a b c d e 長倉三郎ほか編、『岩波理化学辞典 Archived 2013年9月27日, at the Wayback Machine.』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6
- ^ a b 長島隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）
- ^ 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
- ^ 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または，https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
- 1 微分方程式とは
- 2 微分方程式の概要
- 3 概要
- 4 解法
- 5 脚注
解析解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/19 23:12 UTC 版)
1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式 ∂ ϕ ∂ t + c ∂ ϕ ∂ x = D ∂ 2 ϕ ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+c{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=D{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}} については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する： ϕ ( t , 0 ) = U 0 ( t ) = { 0 ( t < 0 ) 1 ( t ≥ 0 ) {\displaystyle \phi (t,0)=U_{0}(t)={\begin{cases}0&(t<0)\\1&(t\geq 0)\end{cases}}} lim x → ∞ ϕ ( t , x ) < ∞ ( t ≥ 0 ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\phi (t,x)<\infty \quad (t\geq 0)} また、初期条件としては次を仮定する: ϕ ( 0 , x ) = 0 ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \phi (0,x)=0\quad (x\geq 0)} （実質的にt> 0, x > 0 の解にのみ興味がある。） このとき、解は ϕ ( t , x ) = 1 2 exp ( c 2 D x ) [ exp ( − c 2 D x ) erfc ( 1 2 D t ( x − c t ) ) + exp ( c 2 D x ) erfc ( 1 2 D t ( x + c t ) ) ] {\displaystyle \phi (t,x)={\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {c}{2D}}x\right)\left[\exp \left(-{\frac {c}{2D}}x\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {Dt}}}}(x-ct)\right)+\exp \left({\frac {c}{2D}}x\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {Dt}}}}(x+ct)\right)\right]} となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。
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解析解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:06 UTC 版)
vec作用素 vec ( A ) {\displaystyle \operatorname {vec} (A)} を（行列 A {\displaystyle A} から1列のベクトルへの）積み重ね作用素とし、 A ⊗ B {\displaystyle A\otimes B} を A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} のクロネッカー積と定義すると、連続・離散時間のリアプノフ方程式を、ある行列方程式として表現できる。さらに、もし A {\displaystyle A} が安定的であれば、解もまたある積分（連続時間の場合）または級数（離散時間の場合）で表現できる。
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