正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/14 16:25 UTC 版)
を整域とし を高さ 1 の のすべての素イデアルからなる集合、すなわち、0 でない素イデアルを真に含まないすべての素イデアルの集合とする。このとき がクルル環 (Krull ring) であるとは、 はすべての に対して離散付値環であり、 はこれらの離散付値環の共通部分（ の商体の部分環と考えて）である。 の任意の 0 でない元は高さ 1 の素イデアルの有限個にしか含まれない。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 07:22 UTC 版)
数学の用語を用いると、統計モデルは通常、ペア ( S , P ) {\displaystyle (S,{\mathcal {P}})} として考える。ここで、 S {\displaystyle S} は可能な観測値の集合、つまり標本空間であり、 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} は S {\displaystyle S} 上の確率分布の集合である。 この定義の背後には、次のような直感がある。観測データの生成過程から帰納される「真の」確率分布があると想定する。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} を用いて、真の分布を適切に近似した分布を含む集合を表す。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} に真の分布が含まれている必要はなく、多くの場合、めったに含まれていない。実際、Burnham と Anderson が述べているように、「モデルは現実の単純化または近似であり、したがってすべての現実を反映するわけではない」 —ゆえに 「すべてのモデルは間違っている」。 集合 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} は多くの場合パラメータ化され、 P = { P θ : θ ∈ Θ } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}} と表される。ここで、集合 Θ {\displaystyle \Theta } はモデルのパラメータを定義する。パラメータ化のおいて、一般に、異なるパラメータ値が異なる分布を生じさせることが要求される。すなわち、 P θ 1 = P θ 2 ⇒ θ 1 = θ 2 {\displaystyle P_{\theta _{1}}=P_{\theta _{2}}\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}} が成立する（単射である）必要がある。この要件を満たすパラメーター化は、識別可能と言われる。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/09 08:49 UTC 版)
以下のモデルを考える。 y i s t = γ s + λ t + δ D s t + ϵ i s t {\displaystyle y_{ist}~=~\gamma _{s}+\lambda _{t}+\delta D_{st}+\epsilon _{ist}} ここで y i s t {\displaystyle y_{ist}} は個人 i {\displaystyle i} が s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} を所与とした下での被説明変数である。 s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} の次元は例えば国と時間を表している。 γ s {\displaystyle \gamma _{s}} と λ t {\displaystyle \lambda _{t}} は s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} のそれぞれの垂直的な切片である。 D s t {\displaystyle D_{st}} は処置状態を示すダミー変数であり、 δ {\displaystyle \delta } は処置効果、 ϵ i s t {\displaystyle \epsilon _{ist}} は誤差項である。 ここで y ¯ s t = 1 n ∑ i = 1 n y i s t {\displaystyle {\overline {y}}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{ist}} , γ ¯ s = 1 n ∑ i = 1 n γ s = γ s {\displaystyle {\overline {\gamma }}_{s}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s}~=~\gamma _{s}} , λ ¯ t = 1 n ∑ i = 1 n λ t = λ t {\displaystyle {\overline {\lambda }}_{t}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}~=~\lambda _{t}} , D ¯ s t = 1 n ∑ i = 1 n D s t = D s t {\displaystyle {\overline {D}}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}D_{st}~=~D_{st}} , ϵ ¯ s t = 1 n ∑ i = 1 n ϵ i s t {\displaystyle {\overline {\epsilon }}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{ist}} , とし、単純化のために s = 1 , 2 {\displaystyle s=1,2} かつ t = 1 , 2 {\displaystyle t=1,2} とする。すると ( y ¯ 11 − y ¯ 12 ) − ( y ¯ 21 − y ¯ 22 ) {\displaystyle ({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})} = [ ( γ 1 + λ 1 + δ D 11 + ϵ ¯ 11 ) − ( γ 1 + λ 2 + δ D 12 + ϵ ¯ 12 ) ] − [ ( γ 2 + λ 1 + δ D 21 + ϵ ¯ 21 ) − ( γ 2 + λ 2 + δ D 22 + ϵ ¯ 22 ) ] {\displaystyle =\left[(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\epsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\epsilon }}_{12})\right]-\left[(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\epsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\epsilon }}_{22})\right]} = δ ( D 11 − D 12 ) + δ ( D 22 − D 21 ) + ϵ ¯ 11 − ϵ ¯ 12 + ϵ ¯ 22 − ϵ ¯ 21 {\displaystyle =\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\epsilon }}_{11}-{\overline {\epsilon }}_{12}+{\overline {\epsilon }}_{22}-{\overline {\epsilon }}_{21}} 完全に説明変数が外生的であるという仮定の下で E [ ( y ¯ 11 − y ¯ 12 ) − ( y ¯ 21 − y ¯ 22 ) ] = δ ( D 11 − D 12 ) + δ ( D 22 − D 21 ) {\displaystyle E\left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})} となる。一般性を失わずに、 D 22 = 1 {\displaystyle D_{22}=1} かつ D 11 = D 12 = D 21 = 0 {\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0} であると仮定すれば、差分の差分法による推定量は以下のように与えられる。 δ ^ = ( y ¯ 11 − y ¯ 12 ) − ( y ¯ 21 − y ¯ 22 ) {\displaystyle {\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})} , ここでこの推定量は D s t {\displaystyle D_{st}} が示唆する処置の処置効果として解釈できる。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/11 08:57 UTC 版)
平均処置効果を正式に定義する為に、二つの潜在的成果を定義する。 y 0 i {\displaystyle y_{0i}} は個人 i {\displaystyle i} が処置を受けなかった場合の結果変数の値であり、 y 1 i {\displaystyle y_{1i}} は個人 i {\displaystyle i} が処置を受けた場合の結果変数の値である。例えば、 y 0 i {\displaystyle y_{0i}} は個人 i {\displaystyle i} が薬の投与を受けなかった場合の健康状態であり、 y 1 i {\displaystyle y_{1i}} は個人 i {\displaystyle i} が薬の投与を受けた場合の健康状態である。 個人 i {\displaystyle i} の処置効果は y 1 i − y 0 i = β i {\displaystyle y_{1i}-y_{0i}=\beta _{i}} により与えられる。一般的にはこの効果が個人間で同一だと予想する理由はない。 E [ . ] {\displaystyle E[.]} を任意の変数に対する期待値オペレーターとする（つまり、興味のある母集団全体の変数の平均値である）。平均処置効果は E [ y 1 i − y 0 i ] {\displaystyle E[y_{1i}-y_{0i}]} で与えられる。 母集団の大きな代表的サンプルにおける個々人の y 1 i {\displaystyle y_{1i}} と y 0 i {\displaystyle y_{0i}} が観測可能ならば、標本について y 1 i − y 0 i {\displaystyle y_{1i}-y_{0i}} の単純な平均値を取ることで平均処置効果を推定できる。つまり 1 N ⋅ ∑ i = 1 N ( y 1 i − y 0 i ) {\displaystyle {\frac {1}{N}}\cdot \sum _{i=1}^{N}(y_{1i}-y_{0i})} である（ここで N {\displaystyle N} はサンプルのサイズである）。 問題なのは個々人について y 1 i {\displaystyle y_{1i}} と y 0 i {\displaystyle y_{0i}} の双方が観測できない場合である。例えば、薬の例では、薬の投与を受けた個人についての y 1 i {\displaystyle y_{1i}} と薬の投与を受けなかった個人についての y 0 i {\displaystyle y_{0i}} しか観測できない。処置を受けた個人の y 0 i {\displaystyle y_{0i}} と処置を受けなかった個人の y 1 i {\displaystyle y_{1i}} は観測できないのである。この事実は、処置効果の評価において科学者が直面する重要な問題であり、推定技術の発展の大部分のきっかけとなった。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/21 03:30 UTC 版)
S {\displaystyle S} はリーマン面、 f : S → S {\displaystyle f:S\to S} は正則な自己準同型写像とし、U はそのファトゥ集合 F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} の連結成分とする。U が点 z0 の周りでの f のジーゲル円板であるとは、単位円板 D {\displaystyle \mathbb {D} } に対する解析的な位相同型写像 ϕ : U → D {\displaystyle \phi :U\to \mathbb {D} } で、ある α ∈ R ∖ Q {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } に対して ϕ ( f n ( ϕ − 1 ( z ) ) ) = e 2 π i α z {\displaystyle \phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha }z} であり、かつ ϕ ( z 0 ) = 0 {\displaystyle \phi (z_{0})=0} であるようなものが存在することを言う。 ジーゲルの定理では、ある「強無理性条件」（ディオファントス条件）を満たす無理数に対するジーゲル円板の存在が示された。これにより、ファトゥ成分の分類に関してピエール・ファトゥが提唱していた未解決問題が解かれた。 後日、アレクサンドル・ブルーノ（英語版）はこの無理性に関する条件を改善し、ブルーノ数までその条件を弱めた。 これはファトゥ成分の分類による結果の一部である。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/07 15:48 UTC 版)
xy 平面の曲線はパラメトリック方程式によって定義される： x = x ( t ) and y = y ( t ) for 0 ≤ t ≤ 1. {\displaystyle x=x(t)\quad {\text{and}}\quad y=y(t)\qquad {\text{for }}0\leq t\leq 1.} パラメータ t を時間と考えれば、これらの方程式は t = 0 と t = 1 の間の平面の対象の動きを特定する。この動きの道は関数 x(t) と y(t) が連続である限り曲線である。この曲線は対象の位置が t = 0 と t = 1 で同じならば閉じている。 そのような曲線の回転数 (winding number) を極座標系を使って定義できる。曲線は原点を通らないと仮定して、パラメトリック方程式を極形式に書きなおすことができる： r = r ( t ) and θ = θ ( t ) for 0 ≤ t ≤ 1. {\displaystyle r=r(t)\quad {\text{and}}\quad \theta =\theta (t)\qquad {\text{for }}0\leq t\leq 1.} 関数 r(t) と θ(t) は r > 0 で、連続であることが要求される。最初と最後の位置は同じなので、θ(0) と θ(1) は 2π の整数倍異ならなければならない。この整数が回転数である： winding number = θ ( 1 ) − θ ( 0 ) 2 π . {\displaystyle {\text{winding number}}={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}.} これは xy 平面において原点の周りの曲線の回転数を定義する。座標系を変えることで、この定義を任意の点 p の周りの回転数を含むように拡張することができる。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:48 UTC 版)
X と Y を位相空間とする。関数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y\,} は次のとき局所同相写像 (local homeomorphism) である。すべての点 x ∈ X に対して、x を含む開集合 U が存在し、像 f ( U ) {\displaystyle f(U)} が Y において開でありかつ制限 f | U : U → f ( U ) {\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)\,} が同相写像である。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 15:56 UTC 版)
（この定義は確率の公理によりあらゆる確率分布に拡張できる。） 可測空間 ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} （通常、Rn に可測集合としてボレル集合を考えたもの）中に存在する確率変数 X は、 ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} 中に測度 X∗P で確率分布する。 ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} 中の標準測度 μ に関する X の密度は、ラドン＝ニコディムの定理より f = d X ∗ P d μ {\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}} である。これは、f は次の性質を持つ任意の可測関数であることを意味する。あらゆる可測集合 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} に対して、 P ( X ∈ A ) = ∫ X − 1 A d P = ∫ A f d μ {\displaystyle \operatorname {P} (X\in A)=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/24 06:06 UTC 版)
確率過程 {Y } がトレンド定常であるとは、以下を満たす時を言う。 Y t = f ( t ) + e t , {\displaystyle Y_{t}=f(t)+e_{t},} ここで t は時間であり、f は実数から実数への関数である。そして {e } は定常過程である。関数値 f ( t ) {\displaystyle f(t)} は t 時点におけるこの確率過程のトレンドの値と言われる。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/01/01 06:44 UTC 版)
実数 ω1, ω2, ... , ωn が有理依存であるとは、少なくとも一つはゼロではない整数 k1, k2, ... , kn で、次を満たすものが存在することを言う： を満たす n-組の整数 k1, k2, ... , kn は自明解、すなわちすべての ki がゼロとなるもののみであることを言う。 実数は有理数についてのベクトル空間を構成するため、これは通常のベクトル空間における線型独立の概念と同値である。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/09/13 06:19 UTC 版)
正式には、 を極限順序数として、 が の中で閉であるということは、任意の に対して、「 ならば 」となることである。従って、 の中の点列の極限が 未満であればそれは に属する。 を極限順序数として、 が の中で非有界であるということは、任意の に対して、 なる が存在するということである。 閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。 例として、可算極限順序数全てによる集合は の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 に対して、 未満の極限順序数全てによる集合は 内でclubである。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/31 09:03 UTC 版)
圏論の一般的な枠組みで余核を定義できる。定義が意味を持つには問題の圏がゼロ射をもたなければならない。射 f : X → Y の余核 (cokernel) は f とゼロ射 0XY : X → Y のコイコライザとして定義される。 明示的には、これは次を意味する。f : X → Y の余核は射 q : Y → Q をともなった対象 Q であって図式 が可換なものである。さらに射 q はこの図式に対して普遍的でなければならない、つまり任意の他のそのような q′: Y → Q′ は q を一意的な射 u : Q → Q′ と合成することによって得られる： すべての普遍的な構成がそうであるが、余核は、存在すれば、一意的な同型を除いて一意的である、あるいはより正確には： q : Y → Q と q‘ : Y → Q‘ が f : X → Y の2つの余核であれば、一意的な同型 u : Q → Q‘ が存在して q‘ = u q となる。 すべてのコイコライザのように、余核 q : Y → Q はエピ射である必要がある。逆に、エピ射はある射の余核であれば正規（英語版） (normal) （あるいは conormal）と呼ばれる。圏はすべてのエピ射が正規であるときに conormal と呼ばれる（例えば群の圏（英語版）は conormal である）。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/12 19:28 UTC 版)
詳細は「C0半群」を参照 X をバナッハ空間としたとき、X 上の作用素からなる1パラメータ半群とは、非負の実数によって特徴づけられる作用素の族 {T(t)} t ∈ [0, ∞) で T ( 0 ) = I {\displaystyle T(0)=I\quad } T ( s + t ) = T ( s ) ∘ T ( t ) ∀ t , s ≥ 0 {\displaystyle T(s+t)=T(s)\circ T(t)\quad \forall t,s\geq 0} を満たすようなもののことを言う。この半群が強連続、あるいはC0半群であるための必要十分条件は、写像 t ↦ T ( t ) x {\displaystyle t\mapsto T(t)x} がすべての x ∈ X に対して連続であることである。ここで [0, ∞) は通常位相を持ち、X はノルム位相を持つ。 1パラメータ半群 T の無限小生成素とは、X 上の（possibly proper な）部分空間上で定義される、次のような作用素 A のことである。 A の定義域は、 h − 1 ( T ( h ) x − x ) {\displaystyle h^{-1}{\bigg (}T(h)x-x{\bigg )}} に、h を右から 0 へと近づけたときの極限が存在するような x ∈ X からなる集合である。 Ax の値は、そのような極限の値である。言い換えると、Ax は関数 t ↦ T ( t ) x {\displaystyle t\mapsto T(t)x} の 0 での右側微分である。 強連続一パラメータ半群の無限小生成素は、Xの稠密な線形部分空間上で定義される閉線形作用素である。 ヒレ-吉田の定理は、バナッハ空間上の閉線形作用素 A が、ある強連続一パラメータ半群の無限小生成素であるための必要十分条件を与えるものである。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:24 UTC 版)
ある集合 X 上のフローは、X 上の実数の加法群の群作用である。より具体的に、フローは写像 φ : X × R → X {\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X} φ ( x , 0 ) = x ; {\displaystyle \varphi (x,0)=x;} φ ( φ ( x , t ) , s ) = φ ( x , s + t ) {\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)} を満たすものである。慣習として、φ(x, t) の代わりに φt(x) と書くことで、上述の方程式を φ0 = Id（恒等写像）および φs ∘ φt = φs+t（群法則）と表すことが多い。すると、すべての t ∈ ℝ に対して、写像 φt: X → X は逆 φ−t: X → X を持つ全単射であることが分かる。このことは上述の定義より従い、実パラメータ t は反復合成写像におけるものと同様に、一般化された写像の冪として取られる。 フローは通常、集合 X に備えられた数学的構造を伴うものであることが要求される。特に、X に位相が備えられるなら、φ は通常連続であることが求められる。X に微分可能構造が備えられるなら、φ は通常微分可能であることが要求される。それらのケースにおいて、フローはそれぞれ同相写像と微分同相写像の一パラメータ部分群（英語版）を構成する。 特別な状況では、局所フロー（local flow）として、次の部分集合でのみ定義されるものを考えることがある： d o m ( φ ) = { ( x , t ) | t ∈ [ a x , b x ] , a x < 0 < b x , x ∈ X } ⊂ X × R . {\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} .} このような集合は φ のフロー領域（flow domain）と呼ばれる。これはベクトル場のフローに対しても同様である。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/26 09:38 UTC 版)
「バーンバウム＝オルリッチ空間」の記事における「正式な定義」の解説
μ は集合 X 上の σ-有限測度（英語版）とし、Φ : [0, ∞) → [0, ∞) はヤング函数、すなわち次を満たす凸函数とする： Φ ( x ) x → ∞ , a s x → ∞ , {\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to \infty ,\quad \mathrm {as\ \ } x\to \infty ,} Φ ( x ) x → 0 , a s x → 0. {\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to 0,\quad \mathrm {as\ \ } x\to 0.} L Φ † {\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }} を、積分 ∫ X Φ ( | f | ) d μ {\displaystyle \int _{X}\Phi (|f|)\,d\mu } が有限であるような可測函数 f : X → R の集合とする。ここで、通常どおり、ほとんど至る所で一致する函数は同一のものと見なされる。 この空間はベクトル空間でない可能性もある（スカラー倍について閉じないことがありうる）。 L Φ † {\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }} によって張られる函数のベクトル空間がバーンバウム＝オルリッチ空間であり、 L Φ {\displaystyle L_{\Phi }} と表記される。 L Φ {\displaystyle L_{\Phi }} 上のノルムを定義するために、Ψ を Φ のヤング補函数（Young complement）とする。すなわち Ψ ( x ) = ∫ 0 x ( Φ ′ ) − 1 ( t ) d t {\displaystyle \Psi (x)=\int _{0}^{x}(\Phi ')^{-1}(t)\,dt} を満たすものとする。ここで次のヤングの不等式が成立することに注意されたい： a b ≤ Φ ( a ) + Ψ ( b ) . {\displaystyle ab\leq \Phi (a)+\Psi (b).} このときノルムは次で与えられる。 ‖ f ‖ Φ = sup { ‖ f g ‖ 1 ∣ ∫ Ψ ∘ | g | d μ ≤ 1 } . {\displaystyle \|f\|_{\Phi }=\sup \left\{\|fg\|_{1}\mid \int \Psi \circ |g|\,d\mu \leq 1\right\}.} 空間 L Φ {\displaystyle L_{\Phi }} はこのノルムが有限であるような可測函数の空間となる。 LΦ 上の同値なノルムとして、次のものがある(Rao & Ren 1991, §3.3)。 ‖ f ‖ Φ ′ = inf { k ∈ ( 0 , ∞ ) ∣ ∫ X Φ ( | f | / k ) d μ ≤ 1 } . {\displaystyle \|f\|'_{\Phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \int _{X}\Phi (|f|/k)\,d\mu \leq 1\right\}.} LΦ(μ) はこのノルムが有限であるような可測函数の空間となる。
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正式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 01:46 UTC 版)
Δ-システム W とは、集合でその任意の2要素の共通部分が一定になるものをいう。すなわち、ある固定された S (空でもよい) があって、A, B ∈ W でA ≠ B ならば A ∩ B = Sとなる。 Δ-システム補題とは、「有限集合からなる任意の非可算集合は、非可算なΔ-システムを部分集合として含む。」という主張である。
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