確率密度関数
確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/20 04:45 UTC 版)
- ^ Probability distribution function PlanetMath
- ^ Probability Function at Mathworld
- ^ Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (for example, Table 5.1 and Example 5.4)
確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 18:42 UTC 版)
詳細は「確率密度関数」を参照 確率分布 PX が絶対連続ならば、ある可測関数 f : X → [0, ∞) が存在して、確率分布は P ( X ∈ A ) = P X ( A ) = ∫ A f X ( x ) d x {\displaystyle P(X\in A)=P_{X}(A)=\int _{A}f_{X}(x)\,dx} と表される（ラドン＝ニコディムの定理）。fX は PX のラドン=ニコディム微分であり、零集合を除いて一意である。fX を連続型確率変数 X の確率密度関数 (probability density function, PDF) という。 確率分布 PX が絶対連続であるとは、任意の（ルベーグ測度に関しての）零集合 N に対して、 P X ( N ) = 0 {\displaystyle P_{X}(N)=0} が成り立つことと定義される。これは測度の絶対連続性と同じである。このとき連続確率分布である。 とくに A が区間の場合は P ( a < X < b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f X ( x ) d x {\displaystyle P(a<X<b)=P(a\leq X<b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx} となる。区間の端点は入れても入れなくても確率は同じである。
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確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:53 UTC 版)
レヴィ分布の確率密度関数は、x ≥ μ に関して以下の式で与えられる。 f ( x ; μ , c ) = c 2 π e − c / 2 ( x − μ ) ( x − μ ) 3 / 2 {\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-c/2(x-\mu )}}{(x-\mu )^{3/2}}}} ここで、μ は位置 (location) パラメータ、c は尺度 (scale) パラメータ。
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確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:54 UTC 版)
安定分布の確率密度関数を解析的に書くことはできないが、特性関数 ψ(t) を用いて次のように書くことができる。 f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ ( t ) e − i x t d t {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt} これを利用して数値計算（数値積分）が可能である。
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確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/09 04:38 UTC 版)
この非心t分布の確率密度関数は f ( t ) = ν ν / 2 e − ν μ 2 / 2 ( t 2 + ν ) π Γ ( ν / 2 ) 2 ( ν − 1 ) / 2 ( t 2 + ν ) ( ν + 1 ) / 2 {\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}e^{-\nu \mu ^{2}/2(t^{2}+\nu )}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}} × ∫ 0 ∞ x ν exp [ − 1 2 ( x − μ t t 2 + ν ) 2 ] d x {\displaystyle \times \int _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right]\,dx} ここで ν > 0 である。この確率密度関数の定義域は実数である。 非心t分布の平均および分散は E [ T ] = { μ ν 2 Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ν > 1 Does not exist ν ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}&\nu >1\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 1\end{cases}}} Var [ T ] = { ν ( 1 + μ 2 ) ν − 2 − μ 2 ν 2 ( Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ) 2 ν > 2 Does not exist ν ≤ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} \left[T\right]={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}&\nu >2\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 2\end{cases}}.}
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確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/30 19:16 UTC 版)
連続一様分布の確率密度関数は次の通りである。 f ( x ) = { 1 b − a for a ≤ x ≤ b , 0 for x < a or x> b , {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[1ex]0&{\text{for }}x
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確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/31 14:31 UTC 版)
一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。 g h ( x ; λ , α , β , δ , μ ) = a ( λ , α , β , δ , μ ) ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) ( λ − 1 2 ) / 2 × K λ − 1 / 2 ( α δ 2 + ( x − μ ) 2 ) exp ( β ( x − μ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=&a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})^{(\lambda -{\frac {1}{2}})/2}\\&\times K_{\lambda -1/2}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})\exp(\beta (x-\mu ))\end{aligned}}} ここで、 a ( λ , α , β , δ , μ ) = ( α 2 − β 2 ) λ / 2 2 π α λ − 1 / 2 δ λ K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )={\frac {(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{\lambda /2}}{{\sqrt {2\pi }}\alpha ^{\lambda -1/2}\delta ^{\lambda }K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}} Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。 μ {\displaystyle \mu } 位置 (location) パラメータ（実数） λ {\displaystyle \lambda } （実数） α {\displaystyle \alpha } （実数） β {\displaystyle \beta } 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数） δ {\displaystyle \delta } 尺度 (scale) パラメータ（実数） x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )} λ > 0 のとき、 δ ≥ 0 , | β | < α {\displaystyle \delta \geq 0,\;|\beta |<\alpha } λ = 0 のとき、 δ> 0 , | β | < α {\displaystyle \delta>0,\;|\beta |<\alpha } λ < 0 のとき、 δ> 0 , | β | ≤ α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |\leq \alpha }
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確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:35 UTC 版)
n {\displaystyle n} 個の相関のある確率変数の確率密度関数、特に n 次のガウス分布に従う確率変数ベクトルの同時確率については、最尤法を参照。
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