三角数

デジタル大辞泉

さんかく‐すう【三角数】

読み方：さんかくすう

等差数列で、自然数の等差数列1,2,3,4,5,6…の第n項までの和を第n項とする数列1,3,6,10,15,21…。また、その各項。
1
1＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10
1＋2＋3＋4＋5＝15
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21
…
となる。
第n項の三角数は
n（n＋1）÷2
で表すことができる。

算数用語集・数学用語集

三角数

三角数とは、自然数を順次加えることにより形成される数のことである。

例：1、3（=1+2）、6(=1+2+3)、10(=1+2+3+4)・・・

参考

• 四角数

ウィキペディア

三角数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/15 09:34 UTC 版)

「三角関数」とは異なります。

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三角数（さんかくすう、英: triangular number）とは、多角数の一種で、点を正三角形の形に並べていったときの点の総数のことである。n番目の三角数は 1 から n までの自然数の和に等しい。

定義と例

一辺に n 個の正三角形となるように点を等間隔に並べたときの点の総数は1 から n までの自然数の和に等しくなり、

${\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\quad (n\geqq 1).}$

特に三角数 10 (= 1 + 2 + 3 + 4) はピタゴラス（学派）にとって「完全なる数」として大事な数とされた。

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\quad (n\geqq 1).}$

三角数の列は次のようになる。

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, …（オンライン整数列大辞典の数列 A217）

類似の関係

三角数を2倍した数を矩形数（くけいすう）という。矩形数とは、行数（横に延びた列の数）と列数（縦に延びた列の数）の差が 1 である長方形の形に点を並べていったときの、点の総数のことである。すなわち、連続する2整数の積である。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。

• n番目の矩形数は、n番目までの正の偶数の総和に等しい：${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}2k=n(n+1)}$
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• n 番目の四角数 n² と n 番目の矩形数 n(n + 1) の和は 2n 番目の三角数 n(2n + 1) に等しい。

各種の性質

• 三角数は組合せ記号で表すことができる：T_n = _n+1C₂
• n（≥ 2）チームの総当たりのリーグ戦における全試合の回数は T_n−1 に等しい。
• 三角数は 3 で割り切れるか、もしくは 9 で割ると 1 余る数のどちらかである。
• 三角数に 9 を掛けて 1 を足した数もまた三角数である。
• 自然数の n までの立方和は T_n² に等しい：${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}}$
  パスカルの三角形

  パスカルの三角形における数列は左上（または右上）にある列から順に:

  • モナド（単数）の数列　1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …, _n-1C₀ or _n-1C_n-1, …
  • 自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, _nC₁ or _nC_n-1, …
  • 三角数の数列 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …, _n+1C₂ or _n+1C_n-1, …
  • 三角錐数の数列 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, …, _n+2C₃ or _n+2C_n-1, …
  • 五胞体数の数列 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, …, _n+3C₄ or _n+3C_n-1, …

  となっている。左上（または右上）にある数列はその1つ右下（または左下）の数列の階差数列である。

  参考文献

  • フロリアン・カジョリ『カジョリ 初等数学史』小倉金之助補訳（復刻版）、共立出版〈共立全書〉、1997年6月。ISBN 4-320-01538-X。http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015388。 

  関連項目

  

  プロジェクト 数学
  • 多角数
  • 図形数
  • 平方数
  • 立方数
  • 累積和

  外部リンク

  • デジタル大辞泉『三角数』 - コトバンク
  • 『三角数とは，三角数定理，平方数との関係』 - 高校数学の美しい物語
  • Weisstein, Eric W. "Triangular Number". mathworld.wolfram.com (英語).

  表 話 編 歴 級数・数列
  等差数列	発散級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 無限算術級数
  等比数列	収束級数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 発散級数 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数
  整数列	オンライン整数列大辞典のリスト 階乗 フィボナッチ数 リュカ数 ペル数 ペラン数 パドヴァン数列 三角数 五角数 六角数 七角数 八角数 九角数 十角数 多角数 平方数 立方数
  その他の数列	発散級数 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数 収束級数 交項級数 幾何級数 超幾何級数 q超幾何級数 ライプニッツの公式
  数列の加速法	エイトケンのΔ2乗加速法
  カテゴリ:級数・カテゴリ:数列

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三角数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 09:06 UTC 版)

「多角数定理」の記事における「三角数」の解説

三平方和定理により 8 N + 3 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y + 1 ) 2 + ( 2 z + 1 ) 2 と表されるから N = x ( x + 1 ) 2 + y ( y + 1 ) 2 + z ( z + 1 ) 2 となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。

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「三角数」の例文・使い方・用例・文例

• 三角数という数列