アーベル‐ぐん【アーベル群】
読み方：あーべるぐん
⇒可換群
アーベル群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/15 06:52 UTC 版)
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| 代数的構造 → 群論 群論 |
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| 代数的構造 |
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数学、特に抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、英: abelian group[注釈 1]）または可換群（かかんぐん、英: commutative group）とは、交換法則を有する群である。マグマの分類の一つである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む[2][注釈 2]。
アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 Z 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。
一般に可換群は非可換群に比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。
定義
| 群に似た構造 | ||||
| 全域性 | 結合性 | 単位的 | 可逆的 | |
|---|---|---|---|---|
| 群 | Yes | Yes | Yes | Yes |
| モノイド | Yes | Yes | Yes | No |
| 半群 | Yes | Yes | No | No |
| ループ | Yes | No | Yes | Yes |
| 準群 | Yes | No | No | Yes |
| マグマ | Yes | No | No | No |
| 亜群 | No | Yes | Yes | Yes |
| 圏 | No | Yes | Yes | No |
集合 G に二項演算（"*" と書くことにする）が定義されていて、以下の条件
- 結合法則:
アーベル群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 14:44 UTC 版)
一般に、f があるアーベル群 G 上の関数で、g を G の元とするとき、シフト作用素 Tg は f を f g ( h ) = f ( g + h ) {\displaystyle f_{g}(h)=f(g+h)} へと写す。
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