有理標準形とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

有理標準形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/28 19:23 UTC 版)

線形代数学において、体 $F$ の元を成分とする正方行列 $A$ の有理標準形（ゆうりひょうじゅんけい、英: rational (canonical) form）あるいはフロベニウス標準形（ふろべにうすひょうじゅんけい、英: Frobenius normal form）とは、体 $F$ 上で相似な行列の標準形である。この標準形は、自然に作用するベクトル空間の行列 $A$ に関して巡回的な（つまり、あるベクトル $v$ と $A$ の冪による像 $Av$ , $A 2 v$ , … により生成される）部分空間への極小分解を反映したものである。所与の正方行列からは唯一つの標準形しか得られず（それゆえ〈標準的〉で）、また正方行列 $A$ , $B$ が互いに相似となるのは $A$ , $B$ の有理標準形が一致するとき、かつそのときに限る^[1]。また、この標準形は行列成分の有理演算のみに依って（それゆえ〈有理的〉に）見つけることができる^[2]。とりわけジョルダン標準形とは異なり多項式の分解を必要とせず、これは行列の相似性が体の拡大に関して不変であることを示している。この標準形の名前はドイツの数学者ゲオルク・フロベニウスに因む。

線型代数学・行列解析

演算・操作	乗法転置逆行列サラスの方法基本変形対角化分解 LU QR コレスキーシューア特異値固有値
不変量	行列式跡階数固有値と固有ベクトル固有多項式最小多項式単因子階数標準形スミス標準形ジョルダン標準形有理標準形小行列式
クラス	正則基本対称エルミート正規直交回転ユニタリ冪零射影正定値ユニモジュラー置換区分

行列式

多重線型代数

数値線形代数

基本的な概念	浮動小数点数値的安定性疎行列 Z-行列 M行列条件数ゲルシュゴリンの定理クリロフ部分空間
ソフトウェア	Matrix Laboratory Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK 数値解析ソフトの比較/一覧
ライブラリ	Armadillo INTLAB OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較
反復法・技法	SOR法共役勾配法 GMRES法固有値問題の数値解法ランチョス法 QR法べき乗法逆べき乗法ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズムハウスホルダー変換ギブンス回転
人物	ジェームズ・H・ウィルキンソンクリーブ・モラーニコラス・ハイアムジーン・ゴラブリチャード・バルガ

行列値関数

その他

脚注

注釈

^ たとえば五次行列 $\scriptstyle {\begin{bmatrix}&&&&1\\1&&&&1\\&1&&&\\&&1&&\\&&&1&\end{bmatrix}}$ は複素行列として対角化可能であるが、固有方程式 $x 5 - x - 1 = 0$ は代数的に解けないので、固有値を代数的に求めることはできない。
^ たとえば二次行列 $\scriptstyle {\begin{bmatrix}&-1\\1&\end{bmatrix}}$ , $\scriptstyle {\begin{bmatrix}&1\\-1&\end{bmatrix}}$ の有理行列としての相似性を示すのに複素対角行列 $\scriptstyle {\begin{bmatrix}i&\\&-i\end{bmatrix}}$ は直接の役には立たない。