求積不可能性とは? わかりやすく解説

求積不可能性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/01 02:26 UTC 版)

三体問題」の記事における「求積不可能性」の解説

三体問題求積可能性は、19世紀末証明されブルンス定理およびポアンカレの定理によって否定的に解決された。 1887年出版されブルンス定理次のことを主張する一般三体問題について、座標 ( r 1 , r 2 , r 3 ) {\displaystyle (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3})} 、運動量 ( p 1 , p 2 , p 3 ) {\displaystyle (\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})} 、時刻 t {\displaystyle t} の代数関数あるよう運動の積分オイラー積分重心運動エネルギー運動量角運動量)と線型独立あるようなものは存在しない。 この事実は、ただちに三体問題の非可積分性意味するものではないものの、可能な運動の積分の形について強い制約課す1898年ポール・パンルヴェはこの定理拡張し運動量に関して代数関数あるよう運動の積分オイラー積分以外に存在しないことを証明したアンリ・ポアンカレ1890年研究報告および1892年著書定式化したポアンカレの定理次のことを主張するパラメータ μ {\displaystyle \mu } を持つ近可積分系ハミルトニアン H = H 0 ( I ) + μ H 1 ( I , θ ) + μ 2 H 2 ( I , θ ) + ⋯ {\displaystyle H=H_{0}(I)+\mu H_{1}(I,\theta )+\mu ^{2}H_{2}(I,\theta )+\cdots } (ここに ( I , θ ) {\displaystyle (I,\theta )} は作用・角変数で、 H 1 , H 2 , ⋯ {\displaystyle H_{1},H_{2},\cdots } は θ {\displaystyle \theta } に関して周期 2 π {\displaystyle 2\pi } であるものとする)について、 d e t ( ∂ 2 H 0 ∂ I iI j ) {\displaystyle \mathrm {det} \,\left({\frac {\partial ^{2}H_{0}}{\partial I_{i}\partial I_{j}}}\right)} が恒等的にゼロではなく、 H 1 {\displaystyle H_{1}} の角変数 θ {\displaystyle \theta } に関するフーリエ係数のうちゼロでないものが無限個存在するならば、パラメータ μ {\displaystyle \mu } に関してべき級数展開 Φ ( I , θ , μ ) = Φ 0 ( I , θ ) + μ Φ 1 ( I , θ ) + μ 2 Φ 2 ( I , θ ) + ⋯ {\displaystyle \Phi (I,\theta ,\mu )=\Phi _{0}(I,\theta )+\mu \Phi _{1}(I,\theta )+\mu ^{2}\Phi _{2}(I,\theta )+\cdots } が可能であるような ( I , θ , μ ) {\displaystyle (I,\theta ,\mu )} について解析的運動の積分 Φ ( I , θ , μ ) {\displaystyle \Phi (I,\theta ,\mu )} でハミルトニアン H {\displaystyle H} と独立なものは存在しない。 特に、制限三体問題は μ = m 2 / ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =m_{2}/(m_{1}+m_{2})} 、かつ H 2 {\displaystyle H^{2}} をハミルトニアン解釈することでこの定理仮定満足し、従ってパラメータ μ {\displaystyle \mu } に関して解析的運動の積分存在しない。この結果は「三体問題解析的解けない」という表現広く知られている。ただしこれはあくまでパラメータ μ {\displaystyle \mu } に解析的依存する運動の積分存在することはなということ主張するだけであって個々の μ {\displaystyle \mu } の値での非可積分性定理の主張含まれない詳細は「ポアンカレの定理」を参照 その後20世紀後半から21世紀初めにかけて、ソフィア・コワレフスカヤ特異点解析(これは彼女をコワレフスカヤのコマ発見導いた)の流れを受ける Ziglin 解析による、あるいは Ziglin 解析微分ガロア理論応用する Morales-Ramis 理論による、三体任意の質量を持つ一般三体問題の非可積分性の証明得られた。

※この「求積不可能性」の解説は、「三体問題」の解説の一部です。
「求積不可能性」を含む「三体問題」の記事については、「三体問題」の概要を参照ください。

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