一般三体問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 02:26 UTC 版)
第 i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} 体の運動方程式は、その座標を r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 、質量を m i {\displaystyle m_{i}} とするとき、次式により与えられる。 m i d 2 r i d t 2 = − ∑ j ≠ i G m i m j r i − r j | r i − r j | 3 {\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=-\sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{3}}}} ここに t {\displaystyle t} は時刻、 G {\displaystyle G} は重力定数である。 この系には以下の10個の運動の積分が存在することがレオンハルト・オイラーの時代までには知られていた（ v i = d r i d t {\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}} は第 i {\displaystyle i} 体の速度）。これらの積分はオイラー積分と呼ばれる。 エネルギー E = ∑ i 1 2 m i v i 2 − 1 2 ∑ i ≠ j G m i m j | r i − r j | {\displaystyle E=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}} 運動量 P = ∑ i m i v i {\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} 角運動量 L = ∑ i m i r i × v i {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}} 重心位置 ∑ i m i r i − P t {\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}-\mathbf {P} t} この系の自由度は18であるため三体問題が求積可能であるためにはさらに7個の積分が必要であるが、これ以外の運動の積分は存在せず、従って三体問題は求積可能ではない（#求積不可能性節を参照）。そのため、三体問題の解は（ラグランジュ点のような例外を除いて）摂動論や数値シミュレーション（N体シミュレーション）を用いて求められる。
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