queueing model with vacationing serverとは? わかりやすく解説

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待ち行列のバケーションサーバモデル

読み方まちぎょうれつのばけーしょんさーばもでる
【英】:queueing model with vacationing server

概要

客がいてもサービスが行なわれない期間(これをサーババケーションという)のある待ち行列モデル. 古くは, サーバ稼働制御問題モデルとして研究され, 近年では, 確率的分解定理呼ばれる理論的性質と, 通信生産システム性能評価への応用注目されている. 複数待ち行列1つサーバ巡回的にサービスするポーリングモデルも, バケーションサーバモデルとみなすことができる.

詳説

 基本的な待ち行列数多く変形モデルのうちの1つとして, 客がいるといないとに拘らず, サービスが行なわれない期間 (これをサーババケーション (vacation) という) のあるモデルがある. サーババケーションがあるモデルは, 伝統的 (1960年代) には, サーバ始動毎に発生する費用と客の待ち時間対す費用釣合いを取る最適制御問題として研究された. 1980年以降は, 確率分解定理呼ばれる興味深い理論的性質と, 通信生産システム性能評価のための基礎的理論モデルとしての応用性が注目された. 特に, M/G/1待ち行列のバケーションモデルと, 複数のM/G/ \cdot\, 待ち行列1つサーバ巡回的にサービスするポーリングモデル活発に研究された [1]. 近年は, 波長分割多元接続光通信方式モデル触発されて, サーババケーション中にも (稼動間中とは異な速さで) サービスを行うというワーキングバケーションモデルが解析されている [2].


サーババケーション サーババケーションによって表されるものは, 現実システムでは, 設備故障と修理予防保守時間の他に, サーバ稼働準備稼働後処理時間, 十分な数(あるいは十分な仕事量)が待ち行列に溜るまで稼働開始遅らせる時間等である. また, 通信方式性能評価への応用において, 複数ユーザ1つ通信チャネル(サーバ)を時間分割共有するシステム(例えば, 時分割多元接続トークンリングLAN) では, 各ユーザにとって, 他のユーザサービス時間ユーザ切替え要する時間は, バケーションみなされる. バケーションのない通常のシステムでも, 待ち行列が空である期間を, 客の到着により直ち終了するバケーションとみなすことができる.

 サーババケーションがある待ち行列では, サーバの状態は, 客のサービス続けて行なう稼働期間と, 上記のような理由によるバケーションの期間が交互に繰り返して現れる. 従って, バケーションモデルは, サーバ稼働期間を終了する規則と, バケーション期間を終了する規則とにより, 分類することができる.


稼働期間を終了する規則 稼働期間を終了する規則には, 稼働開始後に続いてサービスされる客数に対す制限によって, (1)待ち行列空になるまでサービス続ける全処理式, (2)稼働開始時点待ち行列にいた客だけをサービスし, その間到着する客は, バケーション後の次の稼働期間でサービスするゲート式, 及び(3)一定数(例えば, 1人)の客をサービスするか, または待ち行列空になるまでサービス続け制限式, という3つの基本方式がある.


バケーション期間を終了する規則 バケーション期間を終了する規則には, (1)サーバ1回バケーションから帰ってきたときに待っている客がいなければ直ちもう一度バケーションを取るという動作を, バケーション終了時少なくとも1人の客が待っているうになるまで繰り返す多重バケーションモデル, (2)バケーション1回だけで, その終了時待っている客がいなければ, サーバは客が到着すればいつでもサービス始められる状態で待つ単一バケーションモデル, (3)サーバ始動要する時間節約するために, n \; ( > 1 )\, 人の客が溜るまでサービス始めないn\, -方策, 等がある.


確率的分解定理 M/G/1待ち行列 のバケーションモデルにおける興味深い理論的性質として, 確率的分解定理 (stochastic decomposition theorem)について述べる. これは, 適当な条件の下で, バケーションモデルの平衡状態 (equilibrium state)における客数 N\, 確率分布が, 対応するバケーションのないモデル平衡状態における客数 N _0\, 確率分布と, バケーション期間のみに依存する客数 N _1\, 確率分布畳み込み分割できるという定理である. 例えば, 多重バケーションモデルの平衡状態における任意時刻の客数について, 分解定理成り立ち, このとき N _1\, バケーション開始時の客数とバケーション中の任意時刻までに到着する客数の和である. ある場合においては, G/G/1待ち行列のバケーションモデルにおいても分解定理成り立つ.

 さらに, サービス先着順行なわれ, バケーション将来到着過程依存しない場合には, 客の待ち時間分布関数のラプラス・スチルチェス変換対す同様の分解定理成り立つ. 例えば, M/G/1待ち行列の全処理式多重バケーションモデルにおいて, 客の平均待ち時間は, ポラチェック・ヒンチンの公式 (Pollaczek-Khintchine formula) として知られるバケーションない場合平均待ち時間と, 1回バケーション時間 V\, 平均前方再生時間 \mbox{E} [ V ^2 ] / ( 2 \mbox{E}[V] )\, の和で与えられる. 従って, V\, 分散大きシステムでは, V\, 一定長だけ延ばすと平均待ち時間減少するというパラドクス生じる [3].


ポーリングモデル ポーリングモデル (polling model) とは, 複数待ち行列1つサーバ巡回的にサービスするシステムのことである. サーバ1つ待ち行列から次の待ち行列に移るための移動時間仮定してもよい. 各待ち行列にとって, 他の待ち行列サービス時間移動時間は, サーババケーションみなされる. M/G/ \cdot\, 待ち行列ポーリングモデルについても, 確率的分解定理成り立つ. これを利用して, すべての待ち行列同等な場合に, 平均待ち時間の公式が得られる. 各待ち行列パラメタ異な一般場合に, 平均待ち時間を表す公式は得られていない(数値的に計算できる)が, それらにトラヒック強度重み付けて加えた量に対す疑似保存則 (quasi-conservation law) が導かれている [4, 5].



参考文献

[1] H. Takagi, Queueing Analisis: A Foundation of Performance Evaluation, Vols. 1-3, Elsevier, 1991, 1993, 1993.

[2] D.-A.Wu and H.Takagi, "M/G/1 Queue with Multiple Working Vacations," Performance Evaluation, 63 (2006), 654-681.

[3] R. B. Cooper, S. -C. Niu and M. M. Srinivasan, "Some Reflections on the Renewal-Theory Paradox in Queueing Theory," Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 11 (1998), 355-368.

[4] H. Takagi, Analysis of Polling Systems, MIT Press, 1986.

[5] 高木英明, 「ポーリングモデル巡回サービス多重待ち行列」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 41 (1996), 108-118.


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