lim
x
→
c
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}
f (c ) ≠ L となる例f (x )c を実数とする。式
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
\lim _{x\to c}f(x)=L
または
f
(
x
)
→
L
(
x
→
c
)
f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)
は x の値を c に“十分に近づければ”f (x )L に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「x を c に近づけたときの f (x )L である」という。これはイプシロン-デルタ論法 により
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
;
∀
x
[
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
]
{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
という形で厳密に定義される[注釈 1] L は存在するならば、その値は関数 f (x )c から一意に定まる。一方この極限と関数 f (x )x = c f (c ) ≠ L
このことを理解するために次の例を挙げる。
x が 2 に近づくときの
f
(
x
)
=
x
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}
f (x )x が 2 のときに定義されており、値は 0.4 である。
f
(
1.9
)
=
0.4121
f(1.9)=0.4121
f
(
1.99
)
=
0.4012
f(1.99)=0.4012
f
(
1.999
)
=
0.4001
f(1.999)=0.4001
x が 2 に近づくにつれて f (x )0.4 に近づいていく。したがって、
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
0.4
\lim _{x\to 2}f(x)=0.4
f
(
c
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
f(c)=\lim _{x\to c}f(x)
f (x )x = c 連続 であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。
例として、
g
(
x
)
=
{
x
x
2
+
1
,
if
x
≠
2
0
,
if
x
=
2
{\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{cases}}}
を考える。x が 2 に近づくときの g (x )0.4 であるが、
lim
x
→
2
g
(
x
)
≠
g
(
2
)
\lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)
g (x )x = 2
また、x → c f (x )x が c に限りなく近づくとき関数 f (x )
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
\lim _{x\to c}f(x)=\infty
または
f
(
x
)
→
∞
(
x
→
c
)
f(x)\to \infty \quad (x\to c)
と表す。このことは次のように厳密に定義される。
∀
K
>
0
,
∃
δ
>
0
;
∀
x
[
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
f
(
x
)
>
K
]
{\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
逆に、x → c f (x )x が c に限りなく近づくとき関数 f (x )
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
−
∞
\lim _{x\to c}f(x)=-\infty
または
f
(
x
)
→
−
∞
(
x
→
c
)
f(x)\to -\infty \quad (x\to c)
と表す。これは次のように厳密に定義される。
∀
K
<
0
,
∃
δ
>
0
;
∀
x
[
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
f
(
x
)
<
K
]
{\displaystyle {}^{\forall }K<0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K{\bigg ]}}
連続な実関数 f (x )x → c f (x )x = c x = c
無限遠点における挙動 x がある有限の値に近づくときだけでなく、x が正か負の無限 に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
ある無限区間 (a , ∞) で定義される関数 f (x )x が限りなく大きくなると関数 f (x )L に近づくとき、「x が限りなく大きくなるとき f (x )L に収束する」といい、
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
L
\lim _{x\to \infty }f(x)=L
または
f
(
x
)
→
L
(
x
→
∞
)
f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )
と表す。
これは次のように定義される。
∀
ε
>
0
,
∃
X
>
0
;
∀
x
[
x
>
X
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
]
{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
例えば、
f
(
x
)
=
2
x
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}
f
(
100
)
=
1.9802
f(100)=1.9802
f
(
1000
)
=
1.9980
f(1000)=1.9980
f
(
10000
)
=
1.9998
f(10000)=1.9998
x が十分大きくなるにつれて、f (x )2 に近づく。このとき、
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
2
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}
また、ある無限区間 (−∞, a ) で定義される関数 f (x )x が限りなく小さくなると関数 f (x )L に近づくとき、「x が限りなく小さくなるとき f (x )L に収束する」といい、
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
L
\lim _{x\to -\infty }f(x)=L
または
f
(
x
)
→
L
(
x
→
−
∞
)
f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty )
と表す。
これは次のように定義される。
∀
ε
>
0
,
∃
X
<
0
;
∀
x
[
x
<
X
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
]
{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。
ある無限区間 (a , ∞) で定義される関数 f (x )x が限りなく大きくなると関数 f (x )x が限りなく大きくなるとき f (x )
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty
または
f
(
x
)
→
∞
(
x
→
∞
)
f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow \infty )
と表す。
これは次のように定義される。
∀
K
>
0
,
∃
X
>
0
;
∀
x
[
x
>
X
⟹
f
(
x
)
>
K
]
{\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
また、ある無限区間 (−∞, a ) で定義される関数 f (x )x が限りなく小さくなると関数 f (x )x が限りなく小さくなるとき f (x )
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
∞
\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty
または
f
(
x
)
→
∞
(
x
→
−
∞
)
f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )
と表す。
これは次のように定義される。
∀
K
>
0
,
∃
X
<
0
;
∀
x
[
x
<
X
⟹
f
(
x
)
>
K
]
{\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
同様に、x → ∞x → −∞
x → ∞x → −∞f (x )
脚注 注釈
^ より一般に関数 f の定義域が実数の部分集合 E の場合、点 c は E の集積点 にとる。このとき関数 f は点 c において定義されている必要はないことに注意。
出典 参考文献 関連項目 
![{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6681a813ac23c4844003e3aafb598c99821626df)
![{\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66baf638c5661c8aa7594e7a8ab60ea051c172bc)
![{\displaystyle {}^{\forall }K<0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12bd0f3cb841e428469ae34690a1126629789b)
![{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1711507fe16daf8cedc90c5ea2922496471732)
![{\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7138b49b83c35a8d638d62aac1f56e05fb25c50e)
![{\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498fe2e219bd4ae84bfdb9e8b7245d85c6b4b09c)
![{\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345835bd36227fce5e031c9cda19e94031b68d21)
