無限遠点における挙動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)
一般には x がある有限の値に近づくときを考えることが多いが、x が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。 ある無限区間 (a, ∞)（を含む集合）で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値がある値 L に近づくとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は L に収束する」といい、 lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L} または、 f ( x ) → L ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ ε > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists X>0;\;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}} 例えば、 f ( x ) = 2 x x + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}} を考える。 f ( 100 ) = 1.9802 {\displaystyle f(100)=1.9802} f ( 1000 ) = 1.9980 {\displaystyle f(1000)=1.9980} f ( 10000 ) = 1.9998 {\displaystyle f(10000)=1.9998} x が十分大きくなるにつれて、f(x) は 2 に近づく。このとき lim x → ∞ f ( x ) = 2 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2} と表す。 また、ある無限区間 (−∞, a) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく小さくなると関数 f(x) の値がある値 L に近づくとき、「x が限りなく小さくなるとき f(x) は L に収束する」といい、 lim x → − ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L} または、 f ( x ) → L ( x → − ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ ε > 0 , ∃ X < 0 ; ∀ x [ x < X ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}} 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 ある無限区間 ( a , ∞ ) {\displaystyle (a,\infty )} で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値も限りなく大きくなるとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、 lim x → ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty } または、 f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow \infty )} : と表す。 これは次のように定義される。 ∀ K > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists X>0;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}} また、ある無限区間 ( − ∞ , a ) {\displaystyle (-\infty ,a)} で定義される関数 f(x) において、x が限りなく小さくなると関数 f(x) の値が限りなく大きくなるとき、「x が限りなく小さくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、 lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty } または、 f ( x ) → ∞ ( x → − ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ K > 0 , ∃ X < 0 ; ∀ x [ x < X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x
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無限遠点における挙動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/05 05:51 UTC 版)
x がある有限の値に近づくときだけでなく、x が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。 ある無限区間 (a, ∞) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値がある値 L に近づくとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は L に収束する」といい、 lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L} または f ( x ) → L ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ ε > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}} 例えば、 f ( x ) = 2 x x + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}} を考える。 f ( 100 ) = 1.9802 {\displaystyle f(100)=1.9802} f ( 1000 ) = 1.9980 {\displaystyle f(1000)=1.9980} f ( 10000 ) = 1.9998 {\displaystyle f(10000)=1.9998} x が十分大きくなるにつれて、f(x) は 2 に近づく。このとき、 lim x → ∞ f ( x ) = 2 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2} と表す。 また、ある無限区間 (−∞, a) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく小さくなると関数 f(x) の値がある値 L に近づくとき、「x が限りなく小さくなるとき f(x) は L に収束する」といい、 lim x → − ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L} または f ( x ) → L ( x → − ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ ε > 0 , ∃ X < 0 ; ∀ x [ x < X ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}} 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 ある無限区間 (a, ∞) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値も限りなく大きくなるとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、 lim x → ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty } または f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow \infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ K > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}} また、ある無限区間 (−∞, a) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく小さくなると関数 f(x) の値が限りなく大きくなるとき、「x が限りなく小さくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、 lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty } または f ( x ) → ∞ ( x → − ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )} と表す。 これは次のように定義される。 ∀ K > 0 , ∃ X < 0 ; ∀ x [ x < X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x
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