例: AR過程とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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例: AR(1)過程

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:22 UTC 版)

AR(1)過程は次の式で表される。 X t = c + φ X t − 1 + ε t , {\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t},\,} ここで、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} は、 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} の分散に従うホワイトノイズである（ φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} のような添え字は省いてある）。この過程は | φ | < 1 {\displaystyle |\varphi |<1} であれば、共分散定常性を有する。 φ = 1 {\displaystyle \varphi =1} であれば、 X t {\displaystyle X_{t}} は単位根を表し、ランダムウォークと見なされ、共分散定常性を有しない。そうでない場合、 X t {\displaystyle X_{t}} の期待値の計算は単純である。ここで共分散定常性を以下のように定式化する。 E ( X t ) = E ( c ) + φ E ( X t − 1 ) + E ( ε t ) ⇒ μ = c + φ μ + 0. {\displaystyle {\mbox{E}}(X_{t})={\mbox{E}}(c)+\varphi {\mbox{E}}(X_{t-1})+{\mbox{E}}(\varepsilon _{t})\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0.} 従って、次のようになる。 μ = c 1 − φ , {\displaystyle \mu ={\frac {c}{1-\varphi }},} ここで μ {\displaystyle \mu } は平均である。c = 0 なら、平均も 0 になり、分散は次のようになる。 var ( X t ) = E ( X t 2 ) − μ 2 = σ 2 1 − φ 2 . {\displaystyle {\textrm {var}}(X_{t})=E(X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}.} 自己共分散は次の式で表される。 B n = E ( X t + n X t ) − μ 2 = σ 2 1 − φ 2 φ | n | . {\displaystyle B_{n}=E(X_{t+n}X_{t})-\mu ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|n|}.} この自己共分散関数は減衰時間 τ = − 1 / ln ⁡ ( φ ) {\displaystyle \tau =-1/\ln(\varphi )} で減衰する（これを確かめるには、 B n = K ϕ | n | {\displaystyle B_{n}=K\phi ^{|n|}} で K {\displaystyle K} が n {\displaystyle n} に独立な場合を考えればよい。 ϕ | n | = e | n | ln ⁡ ϕ {\displaystyle \phi ^{|n|}=e^{|n|\ln \phi }} であり、指数関数的減衰の法則 e − n / τ {\displaystyle e^{-n/\tau }} に適合することに注意されたい）。スペクトル密度関数は自己共分散関数の逆フーリエ変換である。離散系では、離散時間逆フーリエ変換が適用される。 Φ ( ω ) = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ B n e − i ω n = 1 2 π ( σ 2 1 + φ 2 − 2 φ cos ⁡ ( ω ) ) . {\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }B_{n}e^{-i\omega n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\left({\frac {\sigma ^{2}}{1+\varphi ^{2}-2\varphi \cos(\omega )}}\right).} X j {\displaystyle X_{j}} が離散的であるため、この式の分母にあるコサインの項が折り返し雑音（エイリアス）を表している。標本化間隔( Δ t = 1 {\displaystyle \Delta t=1} )が減衰時間( τ {\displaystyle \tau } )より十分に小さいと仮定すると、 B n {\displaystyle B_{n}} に連続体近似を適用できる。 B ( t ) ≈ σ 2 1 − φ 2 φ | t | {\displaystyle B(t)\approx {\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|t|}} この場合、スペクトル密度はローレンツ分布に従う。 Φ ( ω ) == 1 2 π σ 2 1 − φ 2 γ π ( γ 2 + ω 2 ) {\displaystyle \Phi (\omega )=={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+\omega ^{2})}}} ここで γ = 1 / τ {\displaystyle \gamma =1/\tau } は減衰時間 τ {\displaystyle \tau } に関する角周波数である。 X t {\displaystyle X_{t}} の別の表現方法として、最初の式で X t − 1 {\displaystyle X_{t-1}} を c + φ X t − 2 + ε t − 1 {\displaystyle c+\varphi X_{t-2}+\varepsilon _{t-1}} に置き換える方法がある。これを再帰的に N回繰り返すと次の式になる。 X t = c ∑ k = 0 N − 1 φ k + φ N X φ − N + ∑ k = 0 N − 1 φ k ε t − k . {\displaystyle X_{t}=c\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}+\varphi ^{N}X_{\varphi -N}+\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.} N が無限大に近づくと、 φ N {\displaystyle \varphi ^{N}} はゼロに近づき、最終的に次の式が得られる。 X t = c 1 − φ + ∑ k = 0 ∞ φ k ε t − k {\displaystyle X_{t}={\frac {c}{1-\varphi }}+\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}}

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例: AR(1) 過程

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 01:42 UTC 版)

「自己回帰モデル」の記事における「例: AR(1) 過程」の解説

AR(1) 過程は以下で与えられる。 X t = c + φ X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,} ここで ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} は平均0のホワイトノイズ過程でありその分散は定数 σ ε 2 {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}} である（注記: φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} の下につく添え字をなくしている）。もし | φ | < 1 {\displaystyle |\varphi |<1} ならば、この確率過程は弱定常である。というのもこの過程はホワイトノイズを入力とする定常フィルターの出力として得られるからである（もし φ = 1 {\displaystyle \varphi =1} ならば X t {\displaystyle X_{t}} の分散は無限大となり、ゆえに弱定常ではなくなる）。結果として、 | φ | < 1 {\displaystyle |\varphi |<1} を仮定すれば、平均 E ⁡ ( X t ) {\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})} は全ての t の値について同じとなる。もし平均を μ {\displaystyle \mu } と書くのであれば、以下の式 E ⁡ ( X t ) = E ⁡ ( c ) + φ E ⁡ ( X t − 1 ) + E ⁡ ( ε t ) , {\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})=\operatorname {E} (c)+\varphi \operatorname {E} (X_{t-1})+\operatorname {E} (\varepsilon _{t}),} より次の式 μ = c + φ μ + 0 , {\displaystyle \mu =c+\varphi \mu +0,} が成り立ち、ゆえに以下が得られる。 μ = c 1 − φ . {\displaystyle \mu ={\frac {c}{1-\varphi }}.} 特に、 c = 0 {\displaystyle c=0} ならば、平均は0である。分散は以下のように定まる。 var ⁡ ( X t ) = E ⁡ ( X t 2 ) − μ 2 = σ ε 2 1 − φ 2 , {\displaystyle \operatorname {var} (X_{t})=\operatorname {E} (X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}},} ここで σ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} は ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} の標準偏差である。これは以下の式、 var ⁡ ( X t ) = φ 2 var ⁡ ( X t − 1 ) + σ ε 2 , {\displaystyle \operatorname {var} (X_{t})=\varphi ^{2}\operatorname {var} (X_{t-1})+\sigma _{\varepsilon }^{2},} と上の量は安定な不動点となることから示される。自己共分散は以下で与えられる。 B n = E ⁡ ( X t + n X t ) − μ 2 = σ ε 2 1 − φ 2 φ | n | . {\displaystyle B_{n}=\operatorname {E} (X_{t+n}X_{t})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|n|}.} 自己共分散関数は τ = − 1 / ln ⁡ ( φ ) {\displaystyle \tau =-1/\ln(\varphi )} の減衰時間（または時定数）で減衰していくことが分かる[これを見るために B n = K ϕ | n | {\displaystyle B_{n}=K\phi ^{|n|}} と書く。ここで K {\displaystyle K} は n {\displaystyle n} に依存しない。この時、 ϕ | n | = e | n | ln ⁡ ϕ {\displaystyle \phi ^{|n|}=e^{|n|\ln \phi }} であり、指数減衰法則 e − n / τ {\displaystyle e^{-n/\tau }} と一致する]。スペクトル密度とは自己共分散関数のフーリエ変換である。離散時間の場合、フーリエ変換は離散時間フーリエ変換に対応する。 Φ ( ω ) = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ B n e − i ω n = 1 2 π ( σ ε 2 1 + φ 2 − 2 φ cos ⁡ ( ω ) ) . {\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }B_{n}e^{-i\omega n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\left({\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1+\varphi ^{2}-2\varphi \cos(\omega )}}\right).} この表現は X j {\displaystyle X_{j}} の離散的性質により周期的となり、それは分母におけるコサイン項によって明らかとなっている。もしサンプリング時間 ( Δ t = 1 {\displaystyle \Delta t=1} ) が減衰時間 ( τ {\displaystyle \tau } ) より非常に小さいと仮定するならば、 B n {\displaystyle B_{n}} の連続体近似を用いることが出来る。 B ( t ) ≈ σ ε 2 1 − φ 2 φ | t | {\displaystyle B(t)\approx {\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|t|}} これにより、コーシー分布（ローレンツ型プロファイル）のスペクトル密度が得られる。 Φ ( ω ) = 1 2 π σ ε 2 1 − φ 2 γ π ( γ 2 + ω 2 ) {\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+\omega ^{2})}}} ここで γ = 1 / τ {\displaystyle \gamma =1/\tau } は減衰時間 τ {\displaystyle \tau } に対応した角周波数である。 X t − 1 {\displaystyle X_{t-1}} についての c + φ X t − 2 + ε t − 1 {\displaystyle c+\varphi X_{t-2}+\varepsilon _{t-1}} を定義式にまず代入することで、 X t {\displaystyle X_{t}} の別表現が得られる。これを N 回繰り返せば X t = c ∑ k = 0 N − 1 φ k + φ N X t − N + ∑ k = 0 N − 1 φ k ε t − k . {\displaystyle X_{t}=c\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}+\varphi ^{N}X_{t-N}+\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.} となる。N を無限大まで発散させれば、 φ N {\displaystyle \varphi ^{N}} は0に近づき、 X t = c 1 − φ + ∑ k = 0 ∞ φ k ε t − k . {\displaystyle X_{t}={\frac {c}{1-\varphi }}+\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.} となる。 X t {\displaystyle X_{t}} は φ k {\displaystyle \varphi ^{k}} の核で畳み込まれたホワイトノイズに定数の平均を足したものとなることが分かる。もしホワイトノイズ ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} がガウス過程ならば X t {\displaystyle X_{t}} もまたガウス過程である。他の場合として、中心極限定理により φ {\displaystyle \varphi } が1に近づけば X t {\displaystyle X_{t}} は正規分布に近似的に近づくことが分かる。