アファインディンキン図形とは？わかりやすく解説

リー理論（英語版）という数学の分野において、ディンキン図形（ディンキンずけい、英: Dynkin diagram）とは、二重あるいは三重の辺（二重あるいは三重の線で描かれる）を持ち得るグラフの一種であり、イェヴゲニ・ディンキン（英語版） (Евгений Дынкин, Eugene Dynkin) にちなんで名づけられた。多重辺は制約条件により有向である。

ディンキン図形は代数閉体上の半単純リー環を分類する手段として主に興味を持たれている。これはワイル群を生じる、すなわち（すべてではないが）多くの有限鏡映群（英語版）を生じる。ディンキン図形は他の文脈においても現れる。

「ディンキン図形」という用語には曖昧さがある。ある場合にはディンキン図形は有向であると仮定され、この場合それらはルート系や半単純リー環に対応するが、他の場合には有向でないと仮定され、この場合ワイル群に対応する；有向図形 $B n$ , $C n$ は同じ無向図形を生じ、これは $BC n$ と呼ばれる。この記事では、「ディンキン図形」は「向き付けられた」ディンキン図形を意味し、「向き付けられていない」ディンキン図形は明示的にそう呼ぶ。

有限ディンキン図形
アファイン（拡大）ディンキン図形

半単純リー環の分類

→詳細は「半単純リー環 § 分類」を参照

ディンキン図形の基本的な興味はそれらが代数閉体上の半単純リー環を分類することである。そのようなリー環はそのルート系を通じて分類され、それはディンキン図形によって表せる。そしてディンキン図形は満たさなければならない制約条件によって下記のように分類される。

グラフの辺の向きを落とすことはルート系をそれが生成する有限鏡映群（英語版）、いわゆるワイル群で置き換えることに対応し、したがって無向ディンキン図形はワイル群を分類する。

関連した分類

ディンキン図形は多くの異なる関係する対象を分類すると解釈でき、表記 " $A n, B n, ...$ " は文脈に応じて「すべての」そのような解釈を指すのに使われる；この曖昧さは混乱のもととなりうる。

中心的な分類は、単純リー環はルート系を持ち、それに付随して（有向）ディンキン図形があることである；これら3つは全て例えば $B n$ と呼ばれる。

「無」向ディンキン図形はコクセター図形の形であり、ワイル群と対応し、これはルート系に付随する有限鏡映群（英語版）である。したがって $B n$ は無向図式（特別な種類のコクセター図式）、ワイル群（具体的な鏡映群）、あるいは抽象的なコクセター群も意味する。

ワイル群は抽象的にコクセター群と同型であるが、同型写像は単純ルートの順序付きの選び方に依存することに注意。ディンキン図形の表記は標準的なものがあるが、コクセター図形・群の表記は様々で、ディンキン図形の表記と一致することもしないこともあることにも注意。

最後に、付随する対象が同じ表記で呼ばれることも「時には」あるが、これはつねに規則正しくされるわけではない。例えば：

ルート系によって生成されるルート格子、例えば $E 8$ 格子（英語版）。これは自然に定義されるが、1対1ではない――例えば、 $A 2$ と $G 2$ はともに六角格子（英語版）を生成する。
付随する多胞体――例えば Gosset 4₂₁ polytope（英語版）は "the E₈ polytope" とも呼ばれる。その頂点は $E 8$ ルート系から生じ、対称変換群として $E 8$ コクセター群を持つからである。
付随する二次形式あるいは多様体――例えば、 $E 8$ 多様体（英語版）は $E 8$ 格子で与えられる交叉形式を持つ。

これら後者の表記はほとんど例外図形に付随する対象に使われる。古典図形 ( $A, B, C, D$ ) に付随する対象は代わりに伝統的な名前を持っているのである。

添え字 ( $n$ ) は、図形の頂点の個数、基底の単純ルートの個数、ルート格子とルート系の線型包の次元、コクセター群の生成元の個数、リー環のランクに等しい。しかしながら、 $n$ はリー環の定義加群（基本表現（英語版））の次元には等しくない――ディンキン図形の添え字をリー環の添え字と混同してはいけない。例えば、 $B 4$ は ${\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9}$

A 2

,

ルート系。

例えば、記号 $A 2$ は以下を意味する：

2つのつながった頂点をもつディンキン図形 , これはコクセター図形とも解釈できる。
$2 π /3$ (120度) の角度で2つの単純ルートがあるルート系。

ランク 2 のリー環

{\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}.

この節の加筆が望まれています。（2009年12月）

ディンキン図形はいくつかの制約条件を満たさなければならない；これらは本質的に有限コクセター・ディンキン図形（英語版）によって満たされるものに結晶的条件を付け加えたものである。

コクセター図形との関係

ディンキン図形は有限コクセター群のコクセター図形と密接に関係し、しばしば同じ用語を使う^{[注 1]}。

ディンキン図形は有限群のコクセター図形と2つの重要な点において異なる：

部分的に向き付けられている: ディンキン図形は「部分的に向き付けられている」――任意の多重辺（コクセターの用語では "4" 以上でラベル付けられている辺）は向き付け（一方の頂点から他方を指す矢印）を持つ；したがってディンキン図形は underlying コクセター図形（無向グラフ）よりも「多くの」データを持っている。; ルート系のレベルでは、向き付けは短い方のベクトルに向かって指すことに対応する；"3" でラベル付けられた辺は向き付けされない、なぜならば対応するベクトルは同じ長さでなければならないからである。（注意：著者によってはこの慣習を逆にして矢印が長いベクトルを指すこともある。）
結晶的制限: ディンキン図形は追加の制限を満たさなければならない、すなわち可能な辺のラベルは 2, 3, 4, 6 のみである。これはコクセター図形は持たない制限で、したがって有限群のすべてのコクセター図形がディンキン図形から来るわけではない。; ルート系のレベルでは、これはルートが格子をなす結晶学的制限定理（英語版）に対応する。

もう1つの違いは、様式上のものでしかないが、ディンキン図形は伝統的に、辺に " $p$ " とラベル付けずに、（ $p = 4, 6$ に対して）二重あるいは三重の辺で描く。

用語「ディンキン図形」は時には「有向」グラフを、時に「無向」グラフを意味する。正確を期すため、この記事では「ディンキン図形」は「有向」を意味し、underlying 無向グラフ「無向ディンキン図形」と呼ぶ。するとディンキン図形とコクセター図形は以下のように関係する：

	crystallographic	point group
有向	ディンキン図形
無向	無向ディンキン図形	有限群のコクセター図形

これが意味するのは、有限群のコクセター図形は鏡映によって生成される点群に対応し、一方ディンキン図形は結晶学的制限定理（英語版）に対応する追加の制限を満たさなければならず、また、コクセター図形は無向であるが、一方ディンキン図形は（部分的に）有向であることである。

図形によって分類される対応する数学的対象は：

	crystallographic	point group
有向	ルート系
無向	ワイル群	有限コクセター群（英語版）

右上の空白は、underlying 無向グラフが（有限群の）任意のコクセター図形である有向グラフに対応しており、形式的に定義することはできるが、ほとんど議論されておらず、興味ある数学的対象のことばでの単純な解釈を持たないようである。

上から下への自然な写像――ディンキン図形から無向ディンキン図形へ、あるいはルート系から付随するワイル群へ――と左から右への自然な写像――無向ディンキン図形からコクセター図形へ、あるいはワイル群から有限コクセター群へ――が存在する。

下への写像は（定義により）全射であるが、単射ではない、なぜなら $B n$ と $C n$ の図形は同じ無向図形に写り、結果のコクセター図形とワイル群はしたがってときどき $BC n$ と書かれる。

右への写像は単に包含であり――無向ディンキン図形はコクセター図形の特別な場合であり、ワイル群は有限コクセター群の特別な場合である――全射ではない、なぜならばすべてのコクセター図形が無向ディンキン図形ではなく（抜けている図形は $H 3, H 4$ と $p = 5, p \geq 7$ に対する $I 2 (p)$ である）、したがってすべての有限コクセター群がワイル群ではないからである。

同型

ディンキン図形は慣習的にはリストに重複が無いように番号づけられる： $A n$ に対しては $n \geq 1$ , $B n$ に対しては $n \geq 2$ , $C n$ に対しては $n \geq 3$ , $D n$ に対しては $n \geq 4$ , そして $E n$ は $n = 6$ から始まる。しかしながら族は小さい $n$ に対しても定義でき、図形の例外同型（英語版）を、そしてリー環と付随するリー群の対応する例外同型を生じる。

明らかに、族を $n = 0$ あるいは $n = 1$ から始めることができ、空の図形と頂点が1つの図形はそれぞれ1つずつしかないから、それらはすべて同型である。連結ディンキン図形の他の同型は：

A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}

[1] この節では明確にするために一般のクラスを「コクセター・ディンキン図形」ではなく「コクセター図形」と呼ぶ。混乱の可能性が大きく、また簡潔のためである。

[10] Stekloshchik の矢印の向きはこの記事とは逆であることに注意。

[2] Baez, John (April 13, 1998), This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 119)

[FOOTNOTEFultonHarris1991Proposition_D.40-3] Fulton & Harris 1991, Proposition D.40.

[overout-4] Outer automorphisms of simple Lie Algebras

[FOOTNOTEHumphreys1972Section_16.5-5] & Humphreys 1972, Section 16.5.

[FOOTNOTEJacobson1971section_7-6] Jacobson 1971, section 7.

[7] Algebraic geometry and number theory: in honor of Vladimir Drinfeld's 50th Birthday, edited by Victor Ginzburg, p. 47, section 3.6: Cluster folding

[stembridge-8] Folding by Automorphisms, John Stembridge, 4pp., 79K, 20 August 2008, Other Articles by John Stembridge

[9] これらの foldings の絵と文献については次を参照：(Stekolshchik 2008, p. 102, remark 5.4).

[11] Zuber, Jean-Bernard. Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding. pp. 28–30.

[armstrong-12] Transformations of Dynkin Diagrams, John Armstrong, March 5, 2010

[knapp-13] (Knapp 2002, p. 758)

[overdraw-14] Why are the Dynkin diagrams E6, E7 and E8 always drawn the way they are drawn?

[15] Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence, Rafael Stekolshchik, 2005, Section 2.1 The Cartan matrix and its Tits form p. 27. [1]

[16] 例えば次を参照: Reflection groups and Coxeter groups, by James E. Humphreys, p. 96

[17] [2] Infinite dimensional Lie algebras, Victor Kac

[18] Carbone, L, Chung, S, Cobbs, C, McRae, R, Nandi, D, Naqvi, Y, and Penta, D: Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits, J. Phys. A: Math. Theor. 43 155209, 2010, arXiv:1003.0564

[19] The symmetry of M-theories, Francois Englert, Laurent Houart, Anne Taormina and Peter West, 2003

[注 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[注 2]

[10]

[11]

[12]

[14]

[15]

[16]

[17]

階数	${\tilde {A}}_{1+}$		${A}_{2}^{(2)}$
3	${\tilde {A}}_{2}$		${\tilde {C}}_{2}$ ${D}_{5}^{(2)}$ ${A}_{4}^{(2)}$		${\tilde {G}}_{2}$ ${D}_{4}^{(3)}$
4	${\tilde {A}}_{3}$	${\tilde {B}}_{3}$ ${A}_{5}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{3}$ ${D}_{6}^{(2)}$ ${A}_{6}^{(2)}$
5	${\tilde {A}}_{4}$	${\tilde {B}}_{4}$ ${A}_{7}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{4}$ ${D}_{7}^{(2)}$ ${A}_{8}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{4}$	${\tilde {F}}_{4}$ ${E}_{6}^{(2)}$
6	${\tilde {A}}_{5}$	${\tilde {B}}_{5}$ ${A}_{9}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{5}$ ${D}_{8}^{(2)}$ ${A}_{10}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{5}$
7	${\tilde {A}}_{6}$	${\tilde {B}}_{6}$ ${A}_{11}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{6}$ ${D}_{9}^{(2)}$ ${A}_{12}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{6}$	${\tilde {E}}_{6}$
8	${\tilde {A}}_{7}$	${\tilde {B}}_{7}$ ${A}_{13}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{7}$ ${D}_{10}^{(2)}$ ${A}_{14}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{7}$	${\tilde {E}}_{7}$
9	${\tilde {A}}_{8}$	${\tilde {B}}_{8}$ ${A}_{15}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{8}$ ${D}_{11}^{(2)}$ ${A}_{16}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{8}$	${\tilde {E}}_{8}$
10	${\tilde {A}}_{9}$	${\tilde {B}}_{9}$ ${A}_{17}^{(2)}$	${\tilde {C}}_{9}$ ${D}_{12}^{(2)}$ ${A}_{18}^{(2)}$	${\tilde {D}}_{9}$
11	...	...	...	...

階数	コンパクト	非コンパクト	計
3	31	93	123
4	3	50	53
5	1	21	22
6	0	22	22
7	0	4	4
8	0	5	5
9	0	5	5
10	0	4	4

階数	AE_n = A_n−2^{(1)^}	BE_n = B_n−2^{(1)^} CE_n	C_n−2^{(1)^}	DE_n = D_n−2^{(1)^}	E / F / G
3	AE₃:
4	AE₄:		C₂^{(1)^} A₄^{(2)'^} A₄^{(2)^} D₃^{(2)^}		G₂^{(1)^} D₄^{(3)^}
5	AE₅:	BE₅ CE₅	C₃^{(1)^} A₆^{(2)^} A₆^{(2)'^} D₅^{(2)^}
6	AE₆	BE₆ CE₆	C₄^{(1)^} A₈^{(2)^} A₈^{(2)'^} D₇^{(2)^}	DE₆	F₄^{(1)^} E₆^{(2)^}
7	AE₇	BE₇ CE₇		DE₇
8	AE₈	BE₈ CE₈		DE₈	E₆^{(1)^}
9	AE₉	BE₉ CE₉		DE₉	E₇^{(1)^}
10		BE₁₀ CE₁₀		DE₁₀	E₁₀ = E₈^{(1)^}

有限	$A 2$	$C 2$	$G 2$ （英語版）
2	A₂	C₂	G₂
3	A₂⁺= ${\tilde {A}}_{2}$	C₂⁺= ${\tilde {C}}_{2}$	G₂⁺= ${\tilde {G}}_{2}$
4	A₂⁺⁺	C₂⁺⁺	G₂⁺⁺
5	A₂⁺⁺⁺	C₂⁺⁺⁺	G₂⁺⁺⁺
Det(M_n)	3(3 − n)	2(3 − n)	3 − n

有限	$A 3$	$B 3$	$C 3$	$A 4$	$B 4$	$C 4$	$D 4$	$F 4$ （英語版）
2		A₁²						A₂
3	A₃	B₃	C₃		B₂A₁		A₁³
4	A₃⁺= ${\tilde {A}}_{3}$	B₃⁺= ${\tilde {B}}_{3}$	C₃⁺= ${\tilde {C}}_{3}$	A₄	B₄	C₄	D₄	F₄
5	A₃⁺⁺	B₃⁺⁺	C₃⁺⁺	A₄⁺= ${\tilde {A}}_{4}$	B₄⁺= ${\tilde {B}}_{4}$	C₄⁺= ${\tilde {C}}_{4}$	D₄⁺= ${\tilde {D}}_{4}$	F₄⁺= ${\tilde {F}}_{4}$
6	A₃⁺⁺⁺	B₃⁺⁺⁺	C₃⁺⁺⁺	A₄⁺⁺	B₄⁺⁺	C₄⁺⁺	D₄⁺⁺	F₄⁺⁺
7				A₄⁺⁺⁺	B₄⁺⁺⁺	C₄⁺⁺⁺	D₄⁺⁺⁺	F₄⁺⁺⁺
Det(M_n)	4(4 − n)	2(4 − n)		5(5 − n)	2(5 − n)		4(5 − n)	5 − n

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