アファインディンキン図形とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ディンキン図形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)

リー理論（英語版）という数学の分野において、ディンキン図形（ディンキンずけい、英: Dynkin diagram）とは、二重あるいは三重の辺（二重あるいは三重の線で描かれる）を持ち得るグラフの一種であり、イェヴゲニ・ディンキン（英語版） (Евгений Дынкин, Eugene Dynkin) にちなんで名づけられた。多重辺は制約条件により有向である。

脚注

注

^ この節では明確にするために一般のクラスを「コクセター・ディンキン図形」ではなく「コクセター図形」と呼ぶ。混乱の可能性が大きく、また簡潔のためである。
^ Stekloshchik の矢印の向きはこの記事とは逆であることに注意。

出典

^ Baez, John (April 13, 1998), This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 119)
^ Fulton & Harris 1991, Proposition D.40.
^ ^a ^b ^c Outer automorphisms of simple Lie Algebras
^ & Humphreys 1972, Section 16.5.
^ Jacobson 1971, section 7.
^ Algebraic geometry and number theory: in honor of Vladimir Drinfeld's 50th Birthday, edited by Victor Ginzburg, p. 47, section 3.6: Cluster folding
^ ^a ^b Folding by Automorphisms, John Stembridge, 4pp., 79K, 20 August 2008, Other Articles by John Stembridge
^ これらの foldings の絵と文献については次を参照：(Stekolshchik 2008, p. 102, remark 5.4).
^ Zuber, Jean-Bernard. Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding. pp. 28–30.
^ ^a ^b Transformations of Dynkin Diagrams, John Armstrong, March 5, 2010
^ ^a ^b (Knapp 2002, p. 758)
^ ^a ^b ^c Why are the Dynkin diagrams E6, E7 and E8 always drawn the way they are drawn?
^ Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence, Rafael Stekolshchik, 2005, Section 2.1 The Cartan matrix and its Tits form p. 27. [1]
^ 例えば次を参照: Reflection groups and Coxeter groups, by James E. Humphreys, p. 96
^ [2] Infinite dimensional Lie algebras, Victor Kac
^ Carbone, L, Chung, S, Cobbs, C, McRae, R, Nandi, D, Naqvi, Y, and Penta, D: Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits, J. Phys. A: Math. Theor. 43 155209, 2010, arXiv:1003.0564
^ The symmetry of M-theories, Francois Englert, Laurent Houart, Anne Taormina and Peter West, 2003

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アファインディンキン図形

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「ディンキン図形」の記事における「アファインディンキン図形」の解説

詳細は「アファインルート系」を参照ディンキン図形の拡張、すなわちアファインディンキン図形が存在する；これらはアファインリー環のカルタン行列を分類する。これらは (Kac 1994, Chapter 4, pp. 47–) において分類され、特に (Kac 1994, pp. 53–55) にリストされている。アファイン図形は X(1)l , X(2)l , X(3)l と書かれる、ただし X は対応する有限図形の文字で、指数はアファイン図形のどの列にそれらが入っているかに依存する。これらの第一、X(1)l は、もっとも一般的で、拡大ディンキン図形 (extended Dynkin diagram) と呼ばれ、チルダで表され、時には右上に + の記号をつけることもある、例えば A ~ 5 = A 5 ( 1 ) = A 5 + {\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}} のように。(2) と (3) の列は twisted アファイン図形と呼ばれる。図形については Dynkin diagram generator を参照。拡大ディンキン図形の集合、追加の頂点は緑（Bn に対しては n ≥ 3, Dn に対しては n ≥ 4） "Twisted" アファイン形は (2) あるいは (3) の上付き添え字で名づけられる。（k はグラフの黄色の頂点の個数）以下が頂点の個数が10個までのアファイン群に対するディンキングラフのすべてである。拡大ディンキングラフは、上の有限グラフに1つの頂点を加えた ~ 族として与えられる。他の有向グラフの変種は、位数の高い群の folding を表す値が (2) か (3) の上付き添え字とともに与えられる。これらは「twisted アファイン」図形とカテゴライズされる。頂点が 2 から 10 までの連結アファインディンキングラフ（無向グラフでグループ分けしている）階数 A ~ 1 + {\displaystyle {\tilde {A}}_{1+}} B ~ 3 + {\displaystyle {\tilde {B}}_{3+}} C ~ 2 + {\displaystyle {\tilde {C}}_{2+}} D ~ 4 + {\displaystyle {\tilde {D}}_{4+}} E / F / G2 A ~ 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{1}} or A 1 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{1}^{(1)}} A 2 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{2}^{(2)}} : 3 A ~ 2 {\displaystyle {\tilde {A}}_{2}} or A 2 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{2}^{(1)}} C ~ 2 {\displaystyle {\tilde {C}}_{2}} or C 2 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{2}^{(1)}} D 5 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{5}^{(2)}} : A 4 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{4}^{(2)}} : G ~ 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{2}} or G 2 ( 1 ) {\displaystyle {G}_{2}^{(1)}} D 4 ( 3 ) {\displaystyle {D}_{4}^{(3)}} 4 A ~ 3 {\displaystyle {\tilde {A}}_{3}} or A 3 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{3}^{(1)}} B ~ 3 {\displaystyle {\tilde {B}}_{3}} or B 3 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{3}^{(1)}} A 5 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{5}^{(2)}} : C ~ 3 {\displaystyle {\tilde {C}}_{3}} or C 3 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{3}^{(1)}} D 6 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{6}^{(2)}} : A 6 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{6}^{(2)}} : 5 A ~ 4 {\displaystyle {\tilde {A}}_{4}} or A 4 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{4}^{(1)}} B ~ 4 {\displaystyle {\tilde {B}}_{4}} or B 4 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{4}^{(1)}} A 7 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{7}^{(2)}} : C ~ 4 {\displaystyle {\tilde {C}}_{4}} or C 4 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{4}^{(1)}} D 7 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{7}^{(2)}} : A 8 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{8}^{(2)}} : D ~ 4 {\displaystyle {\tilde {D}}_{4}} or D 4 ( 1 ) {\displaystyle {D}_{4}^{(1)}} F ~ 4 {\displaystyle {\tilde {F}}_{4}} or F 4 ( 1 ) {\displaystyle {F}_{4}^{(1)}} E 6 ( 2 ) {\displaystyle {E}_{6}^{(2)}} 6 A ~ 5 {\displaystyle {\tilde {A}}_{5}} or A 5 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{5}^{(1)}} B ~ 5 {\displaystyle {\tilde {B}}_{5}} or B 5 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{5}^{(1)}} A 9 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{9}^{(2)}} : C ~ 5 {\displaystyle {\tilde {C}}_{5}} or C 5 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{5}^{(1)}} D 8 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{8}^{(2)}} : A 10 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{10}^{(2)}} : D ~ 5 {\displaystyle {\tilde {D}}_{5}} or D 5 ( 1 ) {\displaystyle {D}_{5}^{(1)}} 7 A ~ 6 {\displaystyle {\tilde {A}}_{6}} or A 6 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{6}^{(1)}} B ~ 6 {\displaystyle {\tilde {B}}_{6}} or B 6 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{6}^{(1)}} A 11 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{11}^{(2)}} : C ~ 6 {\displaystyle {\tilde {C}}_{6}} or C 6 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{6}^{(1)}} D 9 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{9}^{(2)}} : A 12 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{12}^{(2)}} : D ~ 6 {\displaystyle {\tilde {D}}_{6}} or D 6 ( 1 ) {\displaystyle {D}_{6}^{(1)}} E ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}} or E 6 ( 1 ) {\displaystyle {E}_{6}^{(1)}} 8 A ~ 7 {\displaystyle {\tilde {A}}_{7}} or A 7 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{7}^{(1)}} B ~ 7 {\displaystyle {\tilde {B}}_{7}} or B 7 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{7}^{(1)}} A 13 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{13}^{(2)}} : C ~ 7 {\displaystyle {\tilde {C}}_{7}} or C 7 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{7}^{(1)}} D 10 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{10}^{(2)}} : A 14 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{14}^{(2)}} : D ~ 7 {\displaystyle {\tilde {D}}_{7}} or D 7 ( 1 ) {\displaystyle {D}_{7}^{(1)}} E ~ 7 {\displaystyle {\tilde {E}}_{7}} or E 7 ( 1 ) {\displaystyle {E}_{7}^{(1)}} 9 A ~ 8 {\displaystyle {\tilde {A}}_{8}} or A 8 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{8}^{(1)}} B ~ 8 {\displaystyle {\tilde {B}}_{8}} or B 8 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{8}^{(1)}} A 15 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{15}^{(2)}} : C ~ 8 {\displaystyle {\tilde {C}}_{8}} or C 8 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{8}^{(1)}} D 11 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{11}^{(2)}} : A 16 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{16}^{(2)}} : D ~ 8 {\displaystyle {\tilde {D}}_{8}} or D 8 ( 1 ) {\displaystyle {D}_{8}^{(1)}} E ~ 8 {\displaystyle {\tilde {E}}_{8}} or E 8 ( 1 ) {\displaystyle {E}_{8}^{(1)}} 10 A ~ 9 {\displaystyle {\tilde {A}}_{9}} or A 9 ( 1 ) {\displaystyle {A}_{9}^{(1)}} B ~ 9 {\displaystyle {\tilde {B}}_{9}} or B 9 ( 1 ) {\displaystyle {B}_{9}^{(1)}} A 17 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{17}^{(2)}} : C ~ 9 {\displaystyle {\tilde {C}}_{9}} or C 9 ( 1 ) {\displaystyle {C}_{9}^{(1)}} D 12 ( 2 ) {\displaystyle {D}_{12}^{(2)}} : A 18 ( 2 ) {\displaystyle {A}_{18}^{(2)}} : D ~ 9 {\displaystyle {\tilde {D}}_{9}} or D 9 ( 1 ) {\displaystyle {D}_{9}^{(1)}} 11... ... ... ...

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