計量ベクトル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/12 06:56 UTC 版)
内積空間上の作用素
内積空間 V から内積空間 W への線型写像 A: V → W に対して、望ましい性質を持つクラスがいくつか挙げられる。
- 連続線型写像: A は上で述べた距離に関して連続。同じことだが、x が V の単位閉区間上を動くときの非負実数からなる集合 {ǁAxǁ} が有界。
- 対称線型作用素: V の任意の元 x, y に対して ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ を満たす。
- 等長作用素: V の任意の元 x, y に対して ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩ を満たす。同じことだが、V の任意の元 x に対して ǁAxǁ = ǁxǁ が成り立つ。任意の等長作用素は単射であり、また等長作用素は内積空間の間の準同型、特に実内積空間の間の準同型は直交作用素である（直交行列と比較せよ）。
- 等長同型: A は等長作用素かつ全射（従って全単射）。等長同型はユニタリ作用素とも呼ばれる（ユニタリ行列と比較せよ）。
内積空間論の観点からは、互いに等長同型な二つの空間は区別を要しない。スペクトル定理は有限次元内積空間上の対称作用素、ユニタリ作用素、あるいは一般に正規作用素に対する標準形を与えるものである。スペクトル定理の一般化はヒルベルト空間上の連続正規作用素に対しても成り立つ。
関連項目
脚注
参考文献
- Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98258-8
- Emch, Gerard G. (1972). Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0
- Young, Nicholas (1988). An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33717-5
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Inner Product Space". mathworld.wolfram.com (英語).
- inner product space in nLab（英語）
- inner product space - PlanetMath.（英語）
- Definition:Inner Product Space at ProofWiki（英語）
- ^ P. K. Jain, Khalil Ahmad (1995). “5.1 Definitions and basic properties of inner product spaces and Hilbert spaces”. Functional analysis (2nd ed.). New Age International. p. 203. ISBN 81-224-0801-X
- ^ Eduard Prugovec̆ki (1981). “Definition 2.1”. Quantum mechanics in Hilbert space (2nd ed.). Academic Press. pp. 18 ff. ISBN 0-12-566060-X
- ^ P. K. Jain, Khalil Ahmad (1995). “Example 5”. Cited work. p. 209. ISBN 81-224-0801-X
- ^ Karen Saxe (2002). Beginning functional analysis. Springer. p. 7. ISBN 0-387-95224-1
- ^ Halmos, P.R (1982). A Hilbert Space Problem Book. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0387906850
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