行列函数を多項式に帰着する
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「行列函数を多項式に帰着する」の解説
解析函数が収束冪級数として f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k x k {\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}} と与えられ、n次正方行列 A の固有多項式を p(x) と書くとき、上記の冪級数を十分大きな k で打ち切った多項式に対する剰余付きの除法を考えれば、 f ( x ) = q ( x ) p ( x ) + r ( x ) {\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x)} で「剰余」多項式 r(x) が 0 ≤ deg r(x) < n となる「商」解析函数 q(x) とともに一意的に決まる。x を行列 A に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、ある種の剰余の定理： f ( A ) = r ( A ) {\displaystyle f(A)=r(A)} が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに n 次以下の行列多項式として書き表される。 上記除算の剰余を r ( x ) := c 0 + c 1 x + ⋯ + c n − 1 x n − 1 {\displaystyle r(x):=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}} と書けば、A の固有値 λ において評価するとき p(λ) = 0 となるから、各固有値に関して等式 f ( λ i ) = r ( λ i ) = c 0 + c 1 λ i + ⋯ + c n − 1 λ i n − 1 ( ∀ i = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}\qquad (\forall i=1,2,\cdots ,n)} を作ることができる。これは n個の線型方程式系になっているから、解くことで係数 ci を決定することができて、 f ( A ) = ∑ k = 0 n − 1 c k A k {\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}} が決まる。 固有値が重複を持つ場合、つまり適当な i ≠ j に対して λi = λj となるものが存在するとき、上記の方程式系は少なくとも二つの方程式が一致してしまうから、それにより方程式系を一意に解くことができない。そのような場合には、固有値 λ の重複度が m とすれば、p(x) の m − 1 階までの導函数がその固有値において消えるから、線型独立な方程式 d k f ( x ) d x k | x = λ = d k r ( x ) d x k | x = λ ( ∀ k = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 ) {\displaystyle {\frac {d^{k}f(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }={\frac {d^{k}r(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }\qquad (\forall k=1,2,\cdots ,m-1)} を新たに m − 1 本追加して、係数 ci を決めるのに必要な n 個の方程式系を得ることができる。 全ての点 (λi, f(λi)) を通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、シルベスターの公式（英語版）が導かれる。 例1 例として、 f ( A ) = e A t ( A = ( 1 2 0 3 ) ) {\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}})} の多項式表現を求めよう。A の固有多項式は p(x) = x2 − 4x + 3, 固有値は λ = 1, 3 である。剰余を r(x) = c0 + c1x と置き、固有値における値 f(λ) = r(λ) を評価して、線型方程式系et = c0 + c1, e3t = c0 + 3c1 を得る。これを解けばc0 = (3et − e3t)/2, c1 = (e3t − et)/2 を得るから、 e A t = c 0 I 2 + c 1 A = ( e t e 3 t − e t 0 e 3 t ) {\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}} となる。函数を g(A) = sin(At) に変えれば、係数は c0 = (3sin(t) − sin(3t))/2 および c1 = (sin(3t) − sin(t))/2 となるから sin ( A t ) = ( sin t sin 3 t − sin t 0 sin 3 t ) {\displaystyle \sin(At)={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}} と求まる。 例2 同様にして、 f ( A ) = e A t ( A = ( 0 1 − 1 0 ) ) {\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}})} を考える。A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。先と同様に、固有値における値に関する連立方程式eit = c0 + ic1, e−it = c0 - ic1 を解いて、c0 = (eit + e−it)/2 = cos(t), c1 = (eit − e−it)/2i = sin(t) を得る。この場合の e A t = ( cos t ) I 2 + ( sin t ) A = ( cos t sin t − sin t cos t ) {\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}}} は回転行列である。 このような利用法の標準的な例は、行列リー群（英語版）への付随するリー環からの指数写像である。これは行列指数関数 exp : g → G ; {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G;} t X ↦ e t X = ∑ n = 0 ∞ t n X n n ! = I + t X + t 2 X 2 2 + ⋯ ( t ∈ R , X ∈ g ) {\displaystyle tX\mapsto e^{tX}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\dfrac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots \qquad (t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}})} として与えられる。その多項式表示は SU(2) に対しては古くから知られており、パウリ行列 σ を用いて e i ( θ / 2 ) ( n ^ ⋅ σ ) = I 2 cos θ / 2 + i ( n ^ ⋅ σ ) sin θ / 2 {\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {n}}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos \theta /2+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin \theta /2} と書ける。SO(3) も同様で e i θ ( n ^ ⋅ J ) = I 3 + i ( n ^ ⋅ J ) sin θ + ( n ^ ⋅ J ) 2 ( cos θ − 1 ) {\displaystyle e^{i\theta ({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1)} と書ける（これはロドリゲスの回転公式である）。記法については (rotation group SO(3)#A note on Lie algebra) を見よ。 後に下れば、ほかの群に対する表示も知られており、例えばローレンツ群 SO(3, 1), O(4, 2), SU(2, 2), GL(n, R)など。ここに O(4, 2) は時空の共形群（英語版） で SU(2, 2) はその単連結被覆（より精確には、O(4, 2) の連結成分 SO+(4, 2) の単連結被覆）である。得られた多項式表示は、これら群の標準表現 (standard representation) に適用される。行列の冪を計算するために固有値に関するある種の知識が必要である。SU(2) の（したがって SO(3)) の）閉じた式は、近年にはすべての既約表現（例えば任意の spin）に対して得られている。
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