行列変数の函数

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行列変数の函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:03 UTC 版)

「実二次正方行列」の記事における「行列変数の函数」の解説

「行列値関数」も参照 M(2, R) の可換部分環族は、この行列環の函数論を決定する。特に三種類の平面部分環がそれぞれ持つ代数構造は、代数的な式の値を決めるものである。以下に述べるように平方根函数や対数函数を考えることは、部分平面 Pm の各々が持つ特別な性質に従って課される制約条件について詳らかにする。Pm の単元群の単位成分（英語版）（単位元の属する連結成分）の概念は、各単元群における極分解（英語版）: mm = −I ならば z = ρ exp(θm); mm = 0 ならば z = ρ exp(sm) または z = −ρ exp(sm) mm = I ならば z = ρ exp(am) または z = −ρ exp(am) または z = mρ exp(am) または z = −mρ exp(am) を導く。一つ目（複素数）の場合 exp(θm) = cos(θ) + msin(θ) であり、二つ目（二重数）の場合 exp(sm) = 1 + sm である。三つ目（分解型複素数）の場合は単元群が四つの連結成分に分解され、単位成分は ρ および exp(am) = cosh(a) + m sinh(a) でパラメータ付けされる。 ここで式の上では部分平面 Pm の別なく √ρ exp(am) := √ρ exp(am/2) と「平方根函数」を定義するが、この函数の引数は Pm それぞれの単元群の単位成分から取るものとする（つまり、二重数平面の場合はその半分の半平面を考えず、分解型複素数平面の場合にはその3/4の部分を取り除かねばならない）。 同様に、ρ exp(am) が平面 Pm の単元群の単位成分の元であるときには、それを「対数函数」で写した値を log(ρ) + am と定義する。対数函数の定義域は上記の平方根函数の場合と同一の制約を抱えている（つまり、mm = 0 または mm = I のそれぞれの場合において Pm の半分または3/4を除外しなければならない）。 更なる函数論の詳細については、複素函数論（複素変数の場合）およぼ分解型複素函数論（英語版）（分解型複素変数の場合）を参照せよ。