弦の場の理論 超対称性と共変な開弦の場の理論

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弦の場の理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/11 16:32 UTC 版)

超対称性と共変な開弦の場の理論

ウィッテンの3次の開弦の場の理論の超対称的拡張を構成する主要な方法は、2つある。一つは、ボゾンの仲間の形によく似せて構成する方法で、変形された3次超弦理論の場の理論(modified cubic superstring field theory)である。2つめは、ナタン・バーコヴィッツ(Nathan Berkovits)による全く異なった、WZWモデル(WZW model)タイプの作用をベースとした方法である。

変形された3次超弦理論の場の理論

ウィッテンの3次の開弦の場の理論のRNS弦への拡張である整合性を持つ第一の拡張は、クリスティアン・プレイトショフ、チャールズ・ソーン(Charles Thorn)、スコット・ヨスト、さらに独立に、イリーナ・アレフェエバ(Irina Aref'eva)、メドヴェーデフ(P. B. Medvedev)、ズバレフ(A. P. Zubarev)により得られた。 NS弦は小さなヒルベルト空間（つまり $\eta _{0}|\Psi \rangle =0$）で、ゴースト数 1 のピクチャー数 0 の弦の場の形を取る。

作用は、ボゾン的な作用に似た形をしている。

$S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Y(i)Y(-i)Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi |Y(i)Y(-i)|\Psi *\Psi \rangle \ ,$

ここに、

$Y(z)=-\partial \xi e^{-2\phi }c(z)$

はピクチャー数を逆にする作用素である。示唆されているピクチャー数 $-{\tfrac {1}{2}}$ の理論をラモンセクター(Ramond sector)へ拡張することは問題があるかも知れない。

この作用はツリーレベルの振幅を再現するため示され、正しいエネルギーを持つタキオン真空解を持っている。 この作用の一つの微妙な点は、中点でピクチャー数を変換する作用素を入れることで、このことは線型化された運動方程式が次の形をとることを意味する。

$Y(i)Y(-i)Q_{B}\Psi =0\left.\right.\ .$

$Y(i)Y(-i)$ は非自明な核を持っているので、$Q_{B}$ のコホモロジーにはない本質的に余剰な解が存在する。 しかし、そのような解は中点近くでの作用素の挿入かも知れないし、本質的な特異性かもしれず、この問題の重要性は未解決である。

バーコヴィッツの超弦の場の理論

開弦の場の全く異なった超対称的作用がナタン・バーコヴィッツにより構成されている。構成された形は、

$S={\tfrac {1}{2}}\langle e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }|e^{-\Phi }\eta _{0}e^{\Phi }\rangle -{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}dt\langle e^{-{\hat {\Phi }}}\partial _{t}e^{\hat {\Phi }}|\{e^{-{\hat {\Phi }}}Q_{B}e^{\hat {\Phi }},e^{-{\hat {\Phi }}}\eta _{0}e^{\hat {\Phi }}\}\rangle$

の形をしていて、積の全てが反交換子 $\{,\}$ を含む *-積を使い構成されており、${\hat {\Phi }}(t)$ は ${\hat {\Phi }}(0)=0$ でかつ ${\hat {\Phi }}(1)=\Phi$ である任意の弦の場である。弦の場 $\Phi$ は大きなヒルベルト空間（つまり、$\xi$ のゼロモードを「意味している」）のNSセクターである。これがどのようにして R セクターと協調するのかについて知られていないが、基本的なアイデアはある。

運動方程式は

$\eta _{0}\left(e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }\right)=0$

の形をしている。

作用は次のゲージ変換の下で不変である。

$e^{\Phi }\to e^{Q_{B}\Lambda }e^{\Phi }e^{\eta _{0}\Lambda '}$

この作用の主な優位点は、任意のピクチャー数を変更する作用素に影響されないことである。ツリーレベルの振幅が正しく再現されていることが示されていて、数値的には適当なエネルギーを持つタキオン真空を持つことが発見されている。 古典運動方程式の唯一知られている解析解は、臨界での変形として得られる。

共変な開いた超弦の場の理論の他の定式化

最小ではない純粋スピノル変数を用いた超弦の場の理論の定式は、バーコヴィッツにより導入された。 作用は3次で、核が自明である中点での挿入を意味する。純粋スピノルを用いた定式化ではいつもそうであるように、ラモンセクター(Ramond sector)は簡単に扱うことができる。しかしながら、GSO-セクターとどのように協調して定式化の中にいれるかが明らかではない。

上記で問題として提示されている変形された3次の理論の中点への挿入を解決しようとする試みの中で、バーコヴィッツとジーゲルは RNS 弦の非最小拡張を基礎とした超弦の場の理論を提案した。 理論は核が無い中点への挿入を使用している。そのような方法が、非自明な核を持つ中点の挿入よりも良い方法であるか否かは明らかではない。