いん‐かんすう〔‐クワンスウ〕【陰関数】
陰関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:15 UTC 版)
数学の特に解析学における陰函数（いんかんすう、英: implicit function; 陰伏函数）は、陰伏方程式すなわち適当な多変数函数（しばしば多変数多項式）R によって R(x1, …, xn) = 0 の形に表される関係によって（その函数の引数のうちの一つの変数の値を残りの変数に関係付けることによって）陰伏的 (implicitly) に定義される函数を言う[1]:204–206。
例えば、単位円を定める陰伏方程式は x2 + y2 − 1 = 0 であり、このときの y に対する陰函数 y = f(x) は、x2 + (f(x))2 − 1 = 0 によって陰伏的に定められる。この陰伏方程式が、x の連続函数として f を定めるのは −1 ≤ x ≤ 1 に対してのみ、かつ函数の値として非負の値のみ（あるいは非正の値のみ）を取るものとしたときである（非負または非正の二つの連続な枝がある）。陰函数定理はこのような関係がいつ陰伏函数を定義するのかという十分条件を与えるものである。
R が多変数多項式であるときの R(x1, …, xn) = 0 なる形の関係に対して、この関係を満足する変数の値の組全体の成す集合を、n = 2 のときは陰伏曲線、n = 3 のときは陰伏曲面と呼ぶ。このような陰伏方程式は代数幾何学の基盤であり、古典的な代数幾何学では多項式の零点を記述する陰伏方程式からなる連立方程式の解を研究する。そのような零点集合はアフィン代数的集合と呼ばれる。
微分方程式の解は一般には陰函数の形で得られる[2]。
例
逆函数
よくある種類の陰函数は逆函数である。函数 f の逆函数は、f の独立変数と従属変数の役割を入れ替えると得られる。つまり、f が x の函数であるとき、f の逆函数 f−1 は、x を y の式として方程式 y = f(x) を解くことで与えられ、その解が x = f−1(y) である。別な言い方をすると、陰伏方程式 R(x, y) = y − f(x) = 0 を x について解いたものが逆函数である。例えばランベルトのオメガ函数は、陰伏方程式 y − xex = 0 を x について解いた陰伏函数（つまり y の逆函数）として与えられる。
代数函数
代数函数は係数がそれ自身多項式であるような多項式方程式を満足する函数である。例えば一変数 x に関する代数函数は、陰伏方程式
単位円は x2 + y2 = 1 を満足する点 (x, y) 全体の成す集合として陰に定義することができる。点 A の周りで y は函数 y(x) として、具体的には g1(x) = √1 − x2 として表される。接線が垂直となる点 B の周りではそのような函数は存在しない。 R(x, y) が R2 内の滑らかな部分多様体 M によって与えられ、この部分多様体の点 (a, b) がその点における接空間が垂直でない（つまり ∂R/∂y ≠ 0）ならば、M は点 (a, b) の十分小さな近傍において、f が滑らかな函数となるような媒介表示 (x, f(x)) によって与えられることが示せる。
より俗な言い方をすれば、考えているグラフの接線が垂直でない限り、陰函数は存在して微分することができるということである。方程式
「陰関数」の例文・使い方・用例・文例
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