劣モジュラ最適化とは? わかりやすく解説

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劣モジュラ最適化

読み方れつもじゅらさいてきか
【英】:submodular optimization

概要

劣モジュラ最適化とは, 劣モジュラ関数制約条件または目的関数含んだ離散最適化を指す. 劣モジュラ関数関連した最適化問題に 対しては, 離散構造利用した効率的なアルゴリズム存在することが少なくない. そのため, 劣モジュラ最適化は, 非線形最適化における凸最適化のように, 離散最適化における基本的な位置占めている.

詳説

 劣モジュラ最適化 (submodular optimization) とは, 劣モジュラ関数 (submodular function) を制約条件または目的関数含んだ離散最適化を指す. 劣モジュラ最適化は, 非線型最適化における凸最適化のように, 離散最適化における基本的な位置占めている.

 有限集合 N\, 部分集合\mathcal {D}\subseteq 2^N\, が, \emptyset\, N\, を共に含み, 任意の X,Y\in\mathcal {D}\, に対して X\cup Y, X\cap Y\in\mathcal {D}\, 満たすものとする. このとき, \mathcal {D}\, 分配束をなす. 関数 f:\mathcal {D}\to\mathbf {R}\, が, 任意の X,Y\in\mathcal {D}\, に対して


f(X)+f(Y)\geq f(X\cup Y)+f(X\cap Y)\,


満たすとき, f\, 劣モジュラ関数呼ばれる. 不等号が常に等号成立する場合には, f\, モジュラ関数という. 分配\mathcal {D}\, 劣モジュラ関数 f\, の組 (\mathcal {D},f)\, は, f(\emptyset)=0\, のとき, 劣モジュラシステム (submodular system) と呼ばれる. さらに, \mathcal {D}=2^N\, であり, f\, 単調性有するとき, すなわち任意の X,Y\subseteq N\, に対して X\subseteq Y \Rightarrow f(X)\leq f(Y)\, 成り立つとき, (N,f)\, ポリマトロイド (polymatroid)という.

 オペレーションズ・リサーチにおいて重要な劣モジュラ関数代表的な例を以下に挙げる.

カット容量関数 有向グラフ G=(N,A)\, において, 各 a\in A\, 非負容量 c(a)\, 与えられているとき, \textstyle \kappa(X)=\sum\{c(a)\mid a\in \Delta^+X\}\, 定義される容量関数 \kappa:2^N\to\mathbf {R}\, は, 劣モジュラ関数となる. ここで, \Delta^+X\, は, X\subseteq N\, から出る集合を表す.

マトロイド階数関数 マトロイド \mathcal {M}=(N,\mathcal {I})\, において, 階数関数 \rho:2^N\to\mathbf {Z}\, \rho(X)=\max\{|I|\mid I\subseteq X,\,I\in \mathcal {I}\}\, 定めると, (N,\rho)\, ポリマトロイドとなる.

エントロピー関数 有限アルファベット離散確率変数集合 N\, に関して, 空でない部分集合 X\subseteq N\, エントロピー\eta(X)\, と書き, \eta(\emptyset)=0\, 定めると, (N,\eta)\, ポリマトロイドとなる.

 有限集合 N\, 上の実数値関数全体のなす線型空間\mathbf {R}^N\, と表す. ベクトル x\in\mathbf {R}^N\, は, 部分集合 X\subseteq N\, に対して \textstyle x(X)=\sum\{x(i)\mid i\in X\}\, 定義することによって, x(\emptyset)=0\, あるようモジュラ関数 x\, 同一視される.劣モジュラシステム (\mathcal {D},f)\, は, \mathbf {R}^N\, 中の基多面体 (base polyhedron)


\mbox{B}(f)=\{x\mid x\in\mathbf {R}^N,\;x(N)=f(N),\;\forall X\in\mathcal {D}: x(X)\leq f(X)\} \,


定める. 基 x\in\mbox{B}(f)\, 相異なる i,j\in N\, に対して,


\tilde{c}(x,i,j)=\min\{f(X)-x(X)\mid i\in X\in\mathcal {D}, j\notin X\}\,


定義される量を交換容量と呼ぶ.

 基多面体上では, 貪欲アルゴリズムによって, 線型目的関数最適化が可能である. 一般に, 楕円体法通じて, 最適化問題分離問題とが計算量多項式性という観点からは等価であるという原理基づいて, 強多項式時間劣モジュラ関数最小化が可能であることが示されている [3] . しかし, 楕円体法実際効率的とは言い難く, 組合せ的な多項式時間アルゴリズム開発望まれていた. 2000年前後に, Iwata-Fleischer-Fujishige[6]とSchrijver[7]によって独立解決された.

 有向グラフ G=(N,A)\, と, f(N)=0\, 満たす N\, 上の劣モジュラシステム (\mathcal {D},f)\, 考える. 各 a\, 始点\partial^+a\, , 終点\partial^-a\, と書き, X\subseteq N\, から出る集合\Delta^+X\, , 入る集合\Delta^-X\, と表す. 任意の \varphi\in\mathbf {R}^A\, に対して, 境界 \partial\varphi\in\mathbf {R}^N\, \partial\varphi(X)=\varphi(\Delta^+X)-\varphi(\Delta^-X)\, 定める. 劣モジュラフロー問題 (submodular flow problem) とは, 流量の上下限 \bar {c},\underline {c}\in\mathbf {R}^A\, 費用 d\in\mathbf {R}^A\, 与えられたとき,


\min\{\sum_{a\in A}d(a)\varphi(a)\mid\partial\varphi\in\mbox{B}(f),\; 
\forall a\in A: \underline {c}(a)\leq\varphi(a)\leq\bar {c}(a)\}\,


求め問題である [1] . 特に, f\, モジュラ関数場合には, 最小費用フロー問題となることに注意する.

 劣モジュラフロー問題は, 任意の X\in\mathcal {D}\, に対して\underline {c}(\Delta^+X)-\bar {c}(\Delta^-X)\leq f(X)\, 成立するとき, かつそのとき限り, 実行可能解有する. さらに, \bar {c},\underline {c},f\, 整数関数であれば, 整数実行可能解存在する.

 実行可能解 \varphi\, は, 以下の条件を満たす p\in\mathbf {R}^N\, 存在するとき, かつそのとき限り, 最適解である. ただし, 各 a\in A\, に対してd_p(a)=d(a)+p(\partial^+a)-p(\partial^-a)\, 定める.



さらに, d\, 整数関数場合には, p\, 整数関数に限ることができる.

 最小費用フロー問題解法一般化することによって, 劣モジュラフロー問題を解くアルゴリズム提案されている [5] . これらの組合せ的なアルゴリズムは, いずれも劣モジュラシステム (\mathcal {D},f)\, に関する交換容量計算する手続き存在仮定している. 交換容量計算は, 定義より明らかなように, 劣モジュラ関数最小化になっており, 楕円体法用いれば多項式時間可能なことが知られている. しかし, 劣モジュラフロー問題応用に際しては, 問題特殊性活かした組合せ的な手続き設計できる場合少なくない.

 劣モジュラ関数 f\, 最小値達成する X\in\mathcal {D}\, 全体は, \mathcal {D}\, 部分分配束をなす. バーコフ(G. Birkhoff)の表現定理より, この部分分配束は N\, 適当な部分集合への分割と各成分間の半順序関係によって表すことができる. この原理基づいて劣モジュラ関数記述され離散システム分解する手法総称して基本分割 (principal partition) と呼ぶ.



参考文献

[1] J. Edmonds and R. Giles, "A min-max relation for submodular functions on graphs," in Studies in Integer Programming, P. L. Hammer, E. L. Johnson, and B. H. Korte, eds., North-Holland, 185-204, 1977.

[2] S. Fujishige, Submodular Functions and Optimization, 2nd ed., Elsevier, 2005.

[3] M. Grötschel, L. Lov\'asz and A. Schrijver, Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer-Verlag, 1988.

[4] 伊理正夫, 重悟, 大山逹雄, 『グラフ・ネットワーク・マトロイド』, 産業図書, 1986.

[5] 岩田覚, 「劣モジュラ問題」, 重悟 編 『離散構造アルゴリズム 』, 近代科学社, 第4章,127-170, 1999.

[6] S.Iwata, L.Fleischer and S.Fujishige, A combinatorial strongly polynomial algorithm for minimizing submodular functions, Journal of ACM 48 (2001) , 761--777.

[7] A.Schrijver, A combinatorial algorithm minimizing submodular functions in strongly polynomial time, Journal of Combinatorial Theory, Ser. B, 80 (2000) , 346--355.





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