Natural logarithm of 2

ウィキペディア

2の自然対数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/28 22:35 UTC 版)

2の自然対数（にのしぜんたいすう）は、自然対数関数 log x の x = 2 での値であり、log 2 と表記する。2の常用対数との混同を避けるため ln 2 あるいは底を明記して log_e 2 とも書かれる。log 2 は正の実数であり、その値は

log 2 = 0.69314 71805 59945 30941 72321…

である。この数は無理数であるので数字の循環しない無限小数である。さらに超越数であるため、代数方程式の解にはならない。連分数表記では

log 2 = [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, …]

となる。また、この数は、核反応や化学反応において物質濃度の半減期を求める際に現れる数である。

定義

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... という級数の部分和（黒線）が log 2（赤線）に収束する様子

ネイピア数 e を底とした実数 x を変数とする対数関数 log x が x = 2 のときにとる値が log 2 である。対数関数は指数関数の逆関数であるので、

e^z = 2

を満たすただ一つの実数の z が log 2 である。

対数関数のテイラー展開は

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad (|x|<1)}$

である。これに形式的に x = 1 を代入すると

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$

となるが、この級数は実際に log 2 に収束することが知られている（→交項級数、アーベルの連続性定理）。

数学的性質

ディリクレのイータ関数（英語版）は

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}$

と定義されるので、上記のテイラー展開から、

η(1) = log 2

である。また、log 2 は以下のような級数でも求められる。

• ${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot 2^{n}}}}$
• ${\displaystyle \log 2=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{3n+1}}-{\frac {1}{3n+2}}+{\frac {1}{3n+3}}\right)}$
• ${\displaystyle \log 2={\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(-4)^{n}}}\left({\frac {2}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)}$
• ${\displaystyle \log 2={\frac {1}{3}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(-27)^{n}}}\left({\frac {3}{6n+1}}-{\frac {2}{6n+3}}-{\frac {1}{6n+4}}\right)}$

さらに、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

の第 N 項までの部分和と log 2 との差は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}-\log 2=(-1)^{N}\left({\frac {1}{2N}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}T_{n}}{4^{N}N^{2n}}}\right)}$

と表される。ここで、T_n は n 番目のタンジェント数である。

積分では

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\log 2}$

であるから、双曲線 y = 1/x と直線 x = 1, x = 2 および y = 0 （x 軸）とに囲まれた図形の面積は log 2 である。

リンデマンの定理より log 2 は超越数であり、したがって無理数である。

log 2 が正規数かどうかは分かっていない。

その他の性質

反応速度

原子核反応や化学反応の速度は、反応物質の濃度に比例する場合が多い。この法則をもとに濃度の半減期を求めると、以下のように log 2 が現れる。

まず濃度を C, 反応速度定数を k とおくと、C を時間 t で微分したものがこの場合の速度なので、

−dC/dt = kC

となる。濃度は単調減少するので、速度の符号は負であることに注意。ここで、

• 初期条件として、t = 0 において C = C₀
• 境界条件として、t = τ（= 半減期）において C = C₀/2

を与えて定積分すると、

${\displaystyle \int _{C_{0}}^{C_{0}/2}{\frac {dC}{C}}=\int _{0}^{\tau }-kdt}$

${\displaystyle \log {\frac {C_{0}/2}{C_{0}}}=-k\tau }$

となり、

log 2 = kτ

となる。すなわち、上記の微分方程式で表されるあらゆる反応において、log 2 は反応速度定数と半減期の積になっている。

72の法則

複利計算における「倍増年」（元利合計が2倍になる年数）の近似計算にも log 2 が現れる。

元金を X (> 0)、年利率を r (> 0) とし、n 年後に元利合計が2倍になるとすれば、

X (1 + r)ⁿ = 2X

となる。この両辺の自然対数をとると

n log(1 + r) = log 2

n = log 2/log(1 + r)

ここで、r ≪ 1、すなわち r が 1 に比べて十分に小さい場合には、log(1 + r) ≒ r と近似できるので、

n ≒ (log 2)/r ≒ 0.693/r

となる。

すなわち「倍増年」は、「0.693を年利で割った値」又は「69.3を年利（%表示）で割った値」で近似できる。実用上は、69.3を切りの良い70や約数の多い72で置き換えることが多い。たとえば、年利が3%ならば、72÷3 = 24 なので、約24年後に元利合計が倍増する。この法則は、72の法則と呼ばれ、15世紀のイタリアで知られていた。

関連項目

• 自然対数
• 二進対数
• 超越数
• 半減期
• 72の法則

外部リンク

• Natural Logarithm of 2 MathWorld
• ln2 Wolfram Alpha

Weblio日本語例文用例辞書

「Natural logarithm of 2」の例文・使い方・用例・文例

• Microsoftがβ版をランチするのは「NetShow streaming server」で動画や音声をオンデマンドで提供する。
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
• 篏入的 r 音 《英音の India office /ndiərfɪs/の /r/の音》.
• ＝《口語》 These kind of stamps are rare. この種の[こういう]切手は珍しい.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• は of の誤植です.
• を off と誤植する.
• あいまい母音 《about, sofa などの /ə/》.
• 副詞的小詞 《on, in, out, over, off など》.
• 迂言的属格 《語尾変化によらず前置詞によって示す属格; たとえば Caesar's の代わりの of Caesar など》.
• çon of garlic [humor]. それにはガーリック[ユーモア]がちょっぴり必要だ.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.
• 初めて読んだ英文小説は“The Vicar of Wakefield”
• （違法罪―a sin of commission―に対する）怠惰罪
• 『each』、『every』、『either』、『neither』、『none』が分配的、つまり集団の中の1つのものを指すのに対し、『which of the men』の『which』は分離的である
• 『hot off the press（最新情報）』は『hot（最新の）』の拡張感覚を示している
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 臨床的鬱病を治療するのに用いられる三環系抗鬱薬（商品名ImavateとTofranil）
• 『sunshine-roof』は『sunroof（サンルーフ）』に対する英国の用語である