驚異の定理

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Theorema Egregium

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/06 00:27 UTC 版)

• 数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > リーマン多様体 > 部分リーマン多様体の接続と曲率 > Theorema Egregium

Theorema Egregium（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム^{[注 1]}。直訳：卓越した定理^{[注 2]}）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書ける事を主張する。

日本語では

• 「最も素晴らしい定理」^[7]
• 「驚異の定理」^[8][9]
• 「Gaussの基本定理」^[10]
• 「抜群の定理」^[11]

などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない^{[注 2]}。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳する事もある^[12][13][14]。

語源

「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている：

Formula itaque art. praec, sponte perducit ad egregium

THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet. — Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones generales circa superficies curvas^[15]

したがって前項の公式それ自身が導く、卓越した^{[注 2][注 3]}

定理. もし曲面が他の任意の曲面にどのように発展したとしても、各点における曲率の大きさは不変である。 — カール・フリードリヒ・ガウス、曲面の一般的考察^[16][17]

概要

鞍点

Mを3次元ユークリッド空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ヘリコイド（螺旋面）からカテノイド（懸垂面）に変形するアニメーション

したがって、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Theorema Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図を描くことはできない。

Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる^{[注 4][注 5]}。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をRとすると1/R²であり、平面のガウス曲率は0である事が知られているので、これは矛盾である。

なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（ガウスの曲面論（英語版））を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。

ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしのn次元曲面、すなわちn次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。

さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。

厳密な定式化

古典的な定式化

Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：

定理 ―  ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

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驚異の定理(Theorema egregium)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 05:12 UTC 版)

「ガウス曲率」の記事における「驚異の定理(Theorema egregium)」の解説

詳細は「驚異の定理」を参照 ガウスの驚異の定理（ラテン語：Theorema Egregium）は、曲面のガウス曲率が曲面自身の上の長さを測ることから決定することができることを述べた定理である。実際、第一基本形式(first fundamental form)の考え方の全体として理解され、第一基本形式とその一階と二階の偏微分として表される。同値なことであるが、R3 の中の曲面の第二基本形式(second fundamental form)の行列式はそのように表現することができる。この定理の注目すべき驚異の点は、R3 の中の曲面 S のガウス曲率の「定義」が、曲面の空間内の位置に依存しているにもかかわらず、最終的な結果であるガウス曲率自体は、周囲の空間を何ら参照することなしに、曲面の本質的な計量（英語版）(intrinsic metric)を決定することである。つまり、これは曲面自体が持っている本質的な性質である。特に、ガウス曲率は、曲面の等長な変形の下に不変である。 現代の微分幾何学において 曲面は 2次元微分可能多様体(differentiable manifold)であると、抽象的にみなす。曲面の古典論（英語版）(classical theory of surfaces)の観点からは、そのような抽象的な曲面は R3 へ埋め込まれ(embedded)、第一基本形式により与えられるリーマン計量を持っている。R3 の中に曲面 S が埋め込まれていることを想定する。局所等長性(local isometry)は、S ∩ U への制限が像の上において等長(isometry)となるような R3 の開領域微分同相写像 f: U → V である。従って、Theorema Egregium では次のように記述されている。 R3 に埋め込まれた滑らかな曲面のガウス曲率は、局所等長変換の下に不変である。 例えば、円筒形のガウス曲率は 0 であり、「捩れていない」（平坦である）チューブも同様である。一方、半径 R の球面は正の定数曲率 R−2 を持ち、平坦な平面が曲率 0 を持ち、これら 2つの曲面は局所的にさえ等長ではない。このように、球面の一部でさえ、平面表現(planar representation) は距離を混乱させてしまう。従って、いかなる地図の投影法も完全ではない。