任意の余次元への一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:24 UTC 版)
「第二基本形式」の記事における「任意の余次元への一般化」の解説
第二基本形式は、任意の余次元（codimension）に一般化できる。その場合、それは法ベクトル束（normal bundle）における値を持つ接空間上の二次形式である。次のように定義できる。 I I ( v , w ) = ( ∇ v w ) ⊥ , {\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,} ここで、 ( ∇ v w ) ⊥ {\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }} は共変微分 ∇ v w {\displaystyle \nabla _{v}w} の法ベクトル束への直交射影（orthogonal projection）を表す。 ユークリッド空間では、部分多様体の曲率テンソルは次の式で表すことができる。 ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ I I ( u , z ) , I I ( v , w ) ⟩ − ⟨ I I ( u , w ) , I I ( v , z ) ⟩ . {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .} これは、ガウスの驚異の定理の一般化と見なすことができるため、ガウス方程式と呼ばれる。 一般的なリーマン多様体の場合、全体空間（ambient space）の曲率を追加する必要がある。N がリーマン多様体 (M,g) に埋め込まれた多様体である場合、 (M,g) から誘導された計量を持つ N の曲率テンソル RN は、第二基本形式と M の曲率テンソル RM を用いて次のように表現することができる。 ⟨ R N ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R M ( u , v ) w , z ⟩ + ⟨ I I ( u , z ) , I I ( v , w ) ⟩ − ⟨ I I ( u , w ) , I I ( v , z ) ⟩ . {\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.}
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