任意の体上の有限次元ベクトル空間上の表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/07/15 15:56 UTC 版)
「リー群の表現」の記事における「任意の体上の有限次元ベクトル空間上の表現」の解説
リー群 G の（体 K 上の）ベクトル空間 V 上の表現は、（微分構造について）G から V の自己同型群への滑らかな群準同型 G → Aut(V) である。ベクトル空間 V に基底が選ばれていると、表現は、一般線型群 GL(n,K) への準同型として表すことができる。この表現は行列表現として知られている。ベクトル空間 V, W 上の G の2つの表現は、それらが V と W に対して同じ基底の選択に関して同じ行列であれば、同値な表現であるという。 リー代数のレベルでは、リー代数 G からリーブラケット [ , ] を保存する End(V) への対応する線形写像が存在する。リー代数の理論はリー代数の表現を参照。 準同型が、単射であるとき、表現を忠実(faithful)であるという。 ユニタリ表現は、G がユニタリ行列であるということ以外は、同じ方法で定義される。従って、リー代数は歪エルミート（英語版）(skew-hermitian)行列である。 G がコンパクトリー群（英語版）(compact Lie group)であれば、すべての有限次元表現は、あるユニタリ表現に同値である。
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