任意の体上の曲面

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任意の体上の曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/25 05:51 UTC 版)

「曲面 (数学)」の記事における「任意の体上の曲面」の解説

代数曲面の定義に際しては任意の体に係数をとる多項式を用いることができるが、例えば有理係数の多項式は実あるいは複素数を係数とすると見なすこともできるから、「与えられた多項式の係数体」は一概には決まらない。そこで、この場合の曲面上の「点」の概念は以下に言うような一般化された意味でいうことにする: 万有体と有理点 与えられた多項式 f(x, y, z) の係数をすべて含む最小の体を k とし、k の超越次数無限大の代数閉拡大体を K と書くとき、この代数曲面上の「点」とは f(x, y, z) = 0 を満たす K3 の元を言う。多項式が実係数のときは、そのような体 K は複素数体であり、またこの曲面上の点で R3 に属するもの（通常の点）は実点 (real point) と呼ぶ。k3 に属する点は k 上の有理点 (rational over k) あるいは短く k-有理点と呼ぶ（k が有理数体 Q のときは単に有理点と呼ぶ）。